题目
7.设 lim _(xarrow 0)varphi (x)=0, 则下列命题中正确的个数为-|||-(1) lim _(xarrow 0)dfrac (sin varphi (x))(varphi (x))=1.=0-|||-(2) lim _(xarrow 0)(1+varphi (x))dfrac (1)(f(x))=-|||-(3)若 '((x)_(0))=A, 则 lim _(xarrow 0)dfrac (f({x)_(0)+varphi (x))-f((x)_(0))}(varphi (x))=(A)_(0).-|||-(4)若 lim _(narrow 0)f(u)=A, 则 lim _(xarrow 0)f(varphi (x))=A.-|||-A)0个. (B)2个. (C)3个. (D)4个
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析命题 (1)
根据极限的性质，当 $\lim _{x\rightarrow 0}\varphi (x)=0$ 时，$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\sin \varphi (x)}{\varphi (x)}=1$。这是因为当 $\varphi (x)$ 接近 0 时，$\sin \varphi (x)$ 与 $\varphi (x)$ 的比值趋近于 1，这是极限 $\lim _{u\rightarrow 0}\dfrac {\sin u}{u}=1$ 的直接应用。
步骤 2：分析命题 (2)
根据极限的性质，当 $\lim _{x\rightarrow 0}\varphi (x)=0$ 时，$\lim _{x\rightarrow 0}(1+\varphi (x))^{\frac {1}{\varphi (x)}}=e$。这是因为当 $\varphi (x)$ 接近 0 时，$(1+\varphi (x))^{\frac {1}{\varphi (x)}}$ 的极限趋近于 $e$，这是极限 $\lim _{u\rightarrow 0}(1+u)^{\frac {1}{u}}=e$ 的直接应用。
步骤 3：分析命题 (3)
根据极限的性质，如果 $\lim _{u\rightarrow 0}f(u)=A$，则 $\lim _{x\rightarrow 0}f(\varphi (x))=A$。这是因为当 $\varphi (x)$ 接近 0 时，$f(\varphi (x))$ 的极限趋近于 $A$，这是极限的复合性质的应用。
步骤 4：分析命题 (4)
根据导数的定义，如果 $f'({x}_{0})=A$，则 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f({x}_{0}+\varphi (x))-f({x}_{0})}{\varphi (x)}=A$。这是因为当 $\varphi (x)$ 接近 0 时，$\dfrac {f({x}_{0}+\varphi (x))-f({x}_{0})}{\varphi (x)}$ 的极限趋近于 $f'({x}_{0})$，这是导数定义的应用。
根据极限的性质，当 $\lim _{x\rightarrow 0}\varphi (x)=0$ 时，$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\sin \varphi (x)}{\varphi (x)}=1$。这是因为当 $\varphi (x)$ 接近 0 时，$\sin \varphi (x)$ 与 $\varphi (x)$ 的比值趋近于 1，这是极限 $\lim _{u\rightarrow 0}\dfrac {\sin u}{u}=1$ 的直接应用。
步骤 2：分析命题 (2)
根据极限的性质，当 $\lim _{x\rightarrow 0}\varphi (x)=0$ 时，$\lim _{x\rightarrow 0}(1+\varphi (x))^{\frac {1}{\varphi (x)}}=e$。这是因为当 $\varphi (x)$ 接近 0 时，$(1+\varphi (x))^{\frac {1}{\varphi (x)}}$ 的极限趋近于 $e$，这是极限 $\lim _{u\rightarrow 0}(1+u)^{\frac {1}{u}}=e$ 的直接应用。
步骤 3：分析命题 (3)
根据极限的性质，如果 $\lim _{u\rightarrow 0}f(u)=A$，则 $\lim _{x\rightarrow 0}f(\varphi (x))=A$。这是因为当 $\varphi (x)$ 接近 0 时，$f(\varphi (x))$ 的极限趋近于 $A$，这是极限的复合性质的应用。
步骤 4：分析命题 (4)
根据导数的定义，如果 $f'({x}_{0})=A$，则 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f({x}_{0}+\varphi (x))-f({x}_{0})}{\varphi (x)}=A$。这是因为当 $\varphi (x)$ 接近 0 时，$\dfrac {f({x}_{0}+\varphi (x))-f({x}_{0})}{\varphi (x)}$ 的极限趋近于 $f'({x}_{0})$，这是导数定义的应用。