题目

一个装有奖券的抽奖箱中，有红、黄、蓝三种颜色的奖券，每种颜色的奖券各有10张。在一场促销活动中，顾客需要连续抽取两次奖券，每次抽取后都将奖券放回抽奖箱中。则顾客连续两次都抽到红色奖券的概率是（）。A.dfrac (1)(3)B.dfrac (1)(3)C.dfrac (1)(3)D.dfrac (1)(3)

一个装有奖券的抽奖箱中，有红、黄、蓝三种颜色的奖券，每种颜色的奖券各有10张。在一场促销活动中，顾客需要连续抽取两次奖券，每次抽取后都将奖券放回抽奖箱中。则顾客连续两次都抽到红色奖券的概率是（）。

A. $\frac{1}{3}$

B. $\frac{1}{9}$

C. $\frac{4}{9}$

D. $\frac{1}{27}$

题目解答

答案

一个装有奖券的抽奖箱中，有红、黄、蓝三种颜色的奖券，每种颜色的奖券各有10张，则总共有 $10\times3=30$ 张奖券。在一场促销活动中，顾客需要连续抽取两次奖券，每次抽取后都将奖券放回抽奖箱中，则顾客每次抽到红色奖券的概率为 $p=\frac{10}{30}=\frac{1}{3}$ ，且顾客两次抽取奖券相互独立，设X表示2次抽奖券中抽到红色奖券的次数，则X服从参数为 $n=2,p=\frac{1}{3}$ 的二项分布，则X的分布律为 $P\left(X=k\right)=C_2^k\left(\frac{1}{3}\right)^k\left(\frac{2}{3}\right)^{2-k},k=0,1,2$ ，则顾客连续两次都抽到红色奖券的概率是 $P\left(X=2\right)=C_2^2\left(\frac{1}{3}\right)^2\left(\frac{2}{3}\right)^0=\frac{1}{9}$ ，因此选择B。

解析

考查要点：本题主要考查独立事件的概率计算，涉及放回抽样的性质。

解题核心思路：

确定每次抽到红色奖券的概率：由于每次抽取后放回，总奖券数不变，红色奖券占比为$\dfrac{1}{3}$。
利用独立事件概率公式：两次独立事件同时发生的概率为各自概率的乘积。

破题关键点：

明确“放回”导致两次抽取独立，避免误用不放回的计算方式。
直接计算两次独立事件的概率乘积，无需复杂公式。

计算单次抽到红色奖券的概率
总奖券数为$10+10+10=30$张，其中红色奖券10张，因此单次抽到红色的概率为：
$p = \dfrac{10}{30} = \dfrac{1}{3}$
计算两次均抽到红色奖券的概率
由于每次抽取后放回，两次抽取相互独立，因此两次均抽到红色的概率为：
$P(\text{两次都红色}) = p \times p = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{9}$