[题目]设 f(x)= +1,xgt 0 2b+{x)^2,xleqslant 0 . 当b为何值时,-|||-f(x)在 x=0 处连续.

考查要点：本题主要考查函数在分段点处的连续性条件，需要掌握极限的计算和连续性的定义。

解题核心思路：
函数在某点连续需满足三个条件：

1. 函数在该点有定义；
2. 左右极限存在且相等；
3. 极限值等于函数值。

破题关键点：

• 计算右极限：当$x \to 0^+$时，$x \cos \frac{1}{x}$的极限为$0$，因此右极限为$1$。
• 计算左极限：当$x \to 0^-$时，表达式为$2b + x^2$，极限为$2b$。
• 函数值：$f(0) = 2b$。
  通过等式$2b = 1$即可求得$b$的值。

步骤1：验证函数在$x=0$处有定义
当$x \leq 0$时，$f(0) = 2b + 0^2 = 2b$，函数在$x=0$处有定义。

步骤2：计算右极限$\lim_{x \to 0^+} f(x)$
当$x \to 0^+$时，$f(x) = x \cos \frac{1}{x} + 1$。
由于$|\cos \frac{1}{x}| \leq 1$，故$|x \cos \frac{1}{x}| \leq |x|$，当$x \to 0$时，$x \cos \frac{1}{x} \to 0$。
因此，右极限为：
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 + 1 = 1.$

步骤3：计算左极限$\lim_{x \to 0^-} f(x)$
当$x \to 0^-$时，$f(x) = 2b + x^2$。
由于$x^2 \to 0$，因此左极限为：
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = 2b + 0 = 2b.$

步骤4：根据连续性条件列方程
函数在$x=0$处连续需满足：
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0).$
代入已知结果：
$1 = 2b = 2b.$
解得：
$b = \frac{1}{2}.$