【例9】(1991,数一、二)设函数f(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且3int_((2)/(3))^1f(x)dx=f(0),证明在(0,1)内存在一点c,使f'(c)=0.

考查要点：本题主要考查积分中值定理和罗尔定理的综合应用，需要学生通过构造辅助条件，将积分与导数问题联系起来。

解题核心思路：

1. 积分中值定理：利用积分中值定理将积分表达式转化为某个点的函数值，从而建立与已知条件的关系。
2. 罗尔定理：通过构造满足罗尔定理条件的区间，证明导数为零的点存在。

破题关键点：

• 关键转化：通过积分中值定理将积分条件转化为$f(c_1) = f(0)$，从而构造出端点函数值相等的区间。
• 区间选择：选择区间$[0, c_1]$，结合$f(0) = f(c_1)$，直接应用罗尔定理。

步骤1：应用积分中值定理
函数$f(x)$在$[\frac{2}{3}, 1]$上连续，根据积分中值定理，存在$c_1 \in \left[\frac{2}{3}, 1\right]$，使得：
$\int_{\frac{2}{3}}^{1} f(x) \, dx = f(c_1) \cdot \left(1 - \frac{2}{3}\right) = \frac{1}{3} f(c_1).$

步骤2：结合已知条件
题目给出$3 \int_{\frac{2}{3}}^{1} f(x) \, dx = f(0)$，代入积分中值定理的结果：
$3 \cdot \frac{1}{3} f(c_1) = f(0) \implies f(c_1) = f(0).$

步骤3：应用罗尔定理
函数$f(x)$在$[0, c_1]$上连续，在$(0, c_1)$内可导，且$f(0) = f(c_1)$。根据罗尔定理，存在$c \in (0, c_1) \subset (0, 1)$，使得：
$f'(c) = 0.$