题目
若事件_(1),(A)_(2),(A)_(3) 两两独立则下列结论成立的是A._(1),(A)_(2),(A)_(3) 相互独立B._(1),(A)_(2),(A)_(3)两两独立C._(1),(A)_(2),(A)_(3)D._(1),(A)_(2),(A)_(3)相互独立
若事件
两两独立则下列结论成立的是
A. 相互独立
B.
两两独立
C.
D.相互独立
题目解答
答案
选B
∵ 两两独立，等价于
,
,
.
而
相互独立，不仅要有 两两独立,且有
∴A选项不正确
∵
同理
,
∴两两独立
∴B选项正确
∵两两独立并不能推出三三独立和相互独立
∴C、D选项错误
解析
步骤 1：理解两两独立的定义
事件A1,A2,A3两两独立意味着$P({A}_{1}{A}_{2})=P({A}_{1})P({A}_{2})$,$P({A}_{1}{A}_{3})=P({A}_{1})P({A}_{3})$,$P({A}_{2}{A}_{3})=P({A}_{2})P({A}_{3})$。
步骤 2：分析选项A
A选项表示A1,A2,A3相互独立，不仅需要两两独立，还需要$P({A}_{1}{A}_{2}{A}_{3})=P({A}_{1})P({A}_{2})P({A}_{3})$。由于题目仅给出两两独立，不能直接推出相互独立，因此A选项不正确。
步骤 3：分析选项B
B选项表示$\overline {{A}_{1}},\overline {{A}_{2}},\overline {{A}_{3}}$两两独立。根据概率论中的补事件性质，可以证明$\overline {{A}_{1}},\overline {{A}_{2}},\overline {{A}_{3}}$两两独立。因此B选项正确。
步骤 4：分析选项C
C选项表示$P({A}_{1}{A}_{2}{A}_{3})=P({A}_{1})P({A}_{2})P({A}_{3})$。由于题目仅给出两两独立，不能直接推出三三独立，因此C选项不正确。
步骤 5：分析选项D
D选项表示$\overline {{A}_{1}},\overline {{A}_{2}},\overline {{A}_{3}}$相互独立。由于题目仅给出两两独立，不能直接推出相互独立，因此D选项不正确。
事件A1,A2,A3两两独立意味着$P({A}_{1}{A}_{2})=P({A}_{1})P({A}_{2})$,$P({A}_{1}{A}_{3})=P({A}_{1})P({A}_{3})$,$P({A}_{2}{A}_{3})=P({A}_{2})P({A}_{3})$。
步骤 2：分析选项A
A选项表示A1,A2,A3相互独立，不仅需要两两独立，还需要$P({A}_{1}{A}_{2}{A}_{3})=P({A}_{1})P({A}_{2})P({A}_{3})$。由于题目仅给出两两独立，不能直接推出相互独立，因此A选项不正确。
步骤 3：分析选项B
B选项表示$\overline {{A}_{1}},\overline {{A}_{2}},\overline {{A}_{3}}$两两独立。根据概率论中的补事件性质，可以证明$\overline {{A}_{1}},\overline {{A}_{2}},\overline {{A}_{3}}$两两独立。因此B选项正确。
步骤 4：分析选项C
C选项表示$P({A}_{1}{A}_{2}{A}_{3})=P({A}_{1})P({A}_{2})P({A}_{3})$。由于题目仅给出两两独立，不能直接推出三三独立，因此C选项不正确。
步骤 5：分析选项D
D选项表示$\overline {{A}_{1}},\overline {{A}_{2}},\overline {{A}_{3}}$相互独立。由于题目仅给出两两独立，不能直接推出相互独立，因此D选项不正确。