2、(3分)设随机变量X的概率密度为 f(x)= ) cx,0leqslant xleqslant 1 0, ;-|||-(1分)(4)分布函数F(x).(1分)

步骤 1：求常数c
根据概率密度函数的性质，整个区间上的积分应等于1，即
$$
\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1
$$
对于给定的概率密度函数，我们有
$$
\int_{0}^{1} cx \, dx = 1
$$
计算积分，得到
$$
\frac{c}{2}x^2 \Big|_{0}^{1} = 1
$$
$$
\frac{c}{2} = 1
$$
$$
c = 2
$$
步骤 2：求 $P\{ -0.3\lt X\lt 0.7\}$
由于 $f(x)$ 在 $x<0$ 和 $x>1$ 时为0，因此
$$
P\{ -0.3\lt X\lt 0.7\} = P\{ 0\lt X\lt 0.7\} = \int_{0}^{0.7} 2x \, dx
$$
计算积分，得到
$$
\int_{0}^{0.7} 2x \, dx = x^2 \Big|_{0}^{0.7} = 0.49
$$
步骤 3：求常数a使 $P\{ X\gt a\} =P\{ X\lt a\}$
由于 $f(x)$ 在 $x<0$ 和 $x>1$ 时为0，因此
$$
P\{ X\gt a\} = \int_{a}^{1} 2x \, dx
$$
$$
P\{ X\lt a\} = \int_{0}^{a} 2x \, dx
$$
令 $P\{ X\gt a\} = P\{ X\lt a\}$，得到
$$
\int_{a}^{1} 2x \, dx = \int_{0}^{a} 2x \, dx
$$
计算积分，得到
$$
1 - a^2 = a^2
$$
$$
a^2 = \frac{1}{2}
$$
$$
a = \frac{\sqrt{2}}{2}
$$
步骤 4：求分布函数F(x)
分布函数 $F(x)$ 定义为
$$
F(x) = P\{ X \leq x \} = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt
$$
对于给定的概率密度函数，我们有
$$
F(x) = \left \{ \begin{matrix} 0, & x < 0 \\ \int_{0}^{x} 2t \, dt, & 0 \leq x \leq 1 \\ 1, & x > 1 \end{matrix} \right.
$$
计算积分，得到
$$
F(x) = \left \{ \begin{matrix} 0, & x < 0 \\ x^2, & 0 \leq x \leq 1 \\ 1, & x > 1 \end{matrix} \right.
$$