题目
设随机变量Xsim B(2 , p) , Ysim B(4 , p)，若P(Xgeqslant 1)=(5)/(9)，则P(Ygeqslant 1)= .
设随机变量$X\sim B(2 , p) , Y\sim B(4 , p)$，若$P(X\geqslant 1)=\frac{5}{9}$，则$P(Y\geqslant 1)=$ .
题目解答
答案
$\frac{65}{81}$
解析
步骤 1：确定$X$的分布参数
$X\sim B(2 , p)$，表示$X$是一个二项分布随机变量，其中$n=2$，$p$是单次试验成功的概率。
步骤 2：计算$P(X\geqslant 1)$
$P(X\geqslant 1)=1-P(X=0)$，因为$X$只能取$0$或$1$或$2$，所以$P(X\geqslant 1)=1-(1-p)^2$。根据题目条件，$P(X\geqslant 1)=\frac{5}{9}$，所以$1-(1-p)^2=\frac{5}{9}$，解得$p=\frac{1}{3}$。
步骤 3：计算$P(Y\geqslant 1)$
$Y\sim B(4 , p)$，表示$Y$是一个二项分布随机变量，其中$n=4$，$p=\frac{1}{3}$。$P(Y\geqslant 1)=1-P(Y=0)$，因为$Y$只能取$0$或$1$或$2$或$3$或$4$，所以$P(Y\geqslant 1)=1-(1-p)^4$。将$p=\frac{1}{3}$代入，得到$P(Y\geqslant 1)=1-(1-\frac{1}{3})^4=1-(\frac{2}{3})^4=1-\frac{16}{81}=\frac{65}{81}$。
$X\sim B(2 , p)$，表示$X$是一个二项分布随机变量，其中$n=2$，$p$是单次试验成功的概率。
步骤 2：计算$P(X\geqslant 1)$
$P(X\geqslant 1)=1-P(X=0)$，因为$X$只能取$0$或$1$或$2$，所以$P(X\geqslant 1)=1-(1-p)^2$。根据题目条件，$P(X\geqslant 1)=\frac{5}{9}$，所以$1-(1-p)^2=\frac{5}{9}$，解得$p=\frac{1}{3}$。
步骤 3：计算$P(Y\geqslant 1)$
$Y\sim B(4 , p)$，表示$Y$是一个二项分布随机变量，其中$n=4$，$p=\frac{1}{3}$。$P(Y\geqslant 1)=1-P(Y=0)$，因为$Y$只能取$0$或$1$或$2$或$3$或$4$，所以$P(Y\geqslant 1)=1-(1-p)^4$。将$p=\frac{1}{3}$代入，得到$P(Y\geqslant 1)=1-(1-\frac{1}{3})^4=1-(\frac{2}{3})^4=1-\frac{16}{81}=\frac{65}{81}$。