已知线性变换:_(1)=2(y)_(1)+2(y)_(2)+(y)_(3),-|||-_(2)=3(y)_(1)+(y)_(2)+5(y)_(3),-|||-_(3)=3(y)_(1)+2(y)_(2)+3(y)_(3),求从变量x1 x2 x3到变量y1 y2 y3的线性变换.,

步骤 1：写出已知线性变换的矩阵形式
已知线性变换可以表示为矩阵形式：
$$
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 1 \\
3 & 1 & 5 \\
3 & 2 & 3
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
y_1 \\
y_2 \\
y_3
\end{bmatrix}
$$
步骤 2：求逆矩阵
为了从变量$x_1, x_2, x_3$到变量$y_1, y_2, y_3$的线性变换，我们需要求出上述矩阵的逆矩阵。首先，计算矩阵的行列式：
$$
\text{det} = 1(1 \cdot 3 - 5 \cdot 2) - 2(3 \cdot 3 - 5 \cdot 3) + 1(3 \cdot 2 - 1 \cdot 3) = 1(-7) - 2(-6) + 1(3) = -7 + 12 + 3 = 8
$$
行列式不为零，所以矩阵可逆。接下来，求出伴随矩阵，然后除以行列式得到逆矩阵：
$$
\text{adj} =
\begin{bmatrix}
1 \cdot 3 - 5 \cdot 2 & -(3 \cdot 3 - 5 \cdot 3) & 3 \cdot 2 - 1 \cdot 3 \\
-(2 \cdot 3 - 1 \cdot 3) & 1 \cdot 3 - 1 \cdot 3 & -(1 \cdot 2 - 1 \cdot 3) \\
2 \cdot 5 - 1 \cdot 1 & -(1 \cdot 5 - 1 \cdot 1) & 1 \cdot 1 - 2 \cdot 3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
-7 & 6 & 3 \\
-3 & 0 & 1 \\
9 & -4 & -5
\end{bmatrix}
$$
$$
\text{逆矩阵} = \frac{1}{\text{det}} \cdot \text{adj} = \frac{1}{8} \cdot
\begin{bmatrix}
-7 & 6 & 3 \\
-3 & 0 & 1 \\
9 & -4 & -5
\end{bmatrix}
$$
步骤 3：写出逆变换
逆变换为：
$$
\begin{bmatrix}
y_1 \\
y_2 \\
y_3
\end{bmatrix}
=
\frac{1}{8}
\begin{bmatrix}
-7 & 6 & 3 \\
-3 & 0 & 1 \\
9 & -4 & -5
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{bmatrix}
$$