求直线L: ) 2x-3y+z=0 3x-y-z-8=0 .上的投影直线的方程。

步骤 1：确定投影平面的方程
设过直线L: $\left \{ \begin{matrix} 2x-3y+z=0\\ 3x-y-z-8=0\end{matrix} \right.$的投影平面为$2x-3y+z+\lambda (3x-y-z-8)=0$，其中λ为任意实数。整理得$(2+3\lambda )x-(3+\lambda )y+(1-\lambda )z-8\lambda =0$。

步骤 2：确定投影平面的法向量
投影平面的法向量为$\overrightarrow {{n}_{1}}=[(2+3\lambda),-(3+\lambda),(1-\lambda)]$。

步骤 3：确定给定平面的法向量
给定平面2x-y+z-1=0的法向量为$\overrightarrow {{n}_{2}}=(2,-1,1)$。

步骤 4：确定投影平面与给定平面的法向量垂直
因为投影平面与给定平面垂直，所以$\overrightarrow {{n}_{1}}\cdot {n}_{2}=0$。即$(2+3\lambda )+(-1)\times [ -(3+\lambda )] +1\times (1-\lambda )=0$。整理得$0=2\lambda+8$，解得$\lambda=-\dfrac {4}{3}$。

步骤 5：代入投影平面方程
将$\lambda=-\dfrac {4}{3}$代入投影平面方程$2x-3y+z+\lambda (3x-y-z-8)=0$中，得$2x-3y+z+(-\dfrac {4}{3})(3x-y-z-8)=0$。整理得$-2x-\dfrac {5}{3}y+\dfrac {7}{3}z=-\dfrac {32}{3}$。化简为$-6x-5y+7z=-32$。

步骤 6：确定投影直线方程
投影直线方程为$\left \{ \begin{matrix} -6x-5y+7z=-32\\ 2x-y+z=1\end{matrix} \right.$。