题目
填空题(2.0分)-|||-lim _(xarrow 0)dfrac ({e)^x-(e)^-x}(sin x)= __
题目解答
答案
解析
步骤 1：应用洛必达法则
由于当 $x \rightarrow 0$ 时，分子和分母都趋于0，因此可以应用洛必达法则。洛必达法则指出，如果 $\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f(x)}{g(x)}$ 的形式是 $\dfrac {0}{0}$ 或 $\dfrac {\infty}{\infty}$，则 $\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f(x)}{g(x)} = \lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f'(x)}{g'(x)}$，其中 $f'(x)$ 和 $g'(x)$ 分别是 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的导数。
步骤 2：计算导数
计算分子和分母的导数。分子的导数是 $\dfrac {d}{dx}({e}^{x}-{e}^{-x}) = {e}^{x}+{e}^{-x}$，分母的导数是 $\dfrac {d}{dx}(\sin x) = \cos x$。
步骤 3：计算极限
将导数代入洛必达法则，得到 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{e}^{x}+{e}^{-x}}{\cos x}$。当 $x \rightarrow 0$ 时，${e}^{x}+{e}^{-x} \rightarrow 1+1=2$，$\cos x \rightarrow 1$，因此 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{e}^{x}+{e}^{-x}}{\cos x} = \dfrac {2}{1} = 2$。
由于当 $x \rightarrow 0$ 时，分子和分母都趋于0，因此可以应用洛必达法则。洛必达法则指出，如果 $\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f(x)}{g(x)}$ 的形式是 $\dfrac {0}{0}$ 或 $\dfrac {\infty}{\infty}$，则 $\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f(x)}{g(x)} = \lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f'(x)}{g'(x)}$，其中 $f'(x)$ 和 $g'(x)$ 分别是 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的导数。
步骤 2：计算导数
计算分子和分母的导数。分子的导数是 $\dfrac {d}{dx}({e}^{x}-{e}^{-x}) = {e}^{x}+{e}^{-x}$，分母的导数是 $\dfrac {d}{dx}(\sin x) = \cos x$。
步骤 3：计算极限
将导数代入洛必达法则，得到 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{e}^{x}+{e}^{-x}}{\cos x}$。当 $x \rightarrow 0$ 时，${e}^{x}+{e}^{-x} \rightarrow 1+1=2$，$\cos x \rightarrow 1$，因此 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{e}^{x}+{e}^{-x}}{\cos x} = \dfrac {2}{1} = 2$。