题目
lim _(xarrow infty )((dfrac {3+x)(6+x))}^dfrac (x-1{2)}-|||-__
题目解答
答案
解析
步骤 1：转换表达式
将原表达式 $\dfrac {11m}{x+1}{(\dfrac {3+x}{6+x})}^{\dfrac {x-1}{2}}$ 转换为 $\dfrac {11m}{1-m}{(\dfrac {6+x-3}{6+x})}^{\dfrac {x-1}{2}}$，这里假设 $x+1=1-m$，即 $m=1-x$。这一步主要是为了简化表达式，使其更易于处理。
步骤 2：应用极限
将表达式 $\lim _{x\rightarrow \infty }{(1-\dfrac {3}{6+x})}^{-\dfrac {6+x}{3}}\cdot (-\dfrac {3x-3}{12+2x})$ 应用到极限中。这里使用了极限的性质，即当 $x$ 趋向于无穷大时，$(1-\dfrac {3}{6+x})$ 的指数部分趋向于 $e$ 的负指数形式。同时，将 $-\dfrac {3x-3}{12+2x}$ 简化为 $-\dfrac {3}{2}$，因为当 $x$ 趋向于无穷大时，分子和分母中的 $x$ 项主导了整个表达式。
步骤 3：计算最终结果
将步骤 2 中得到的表达式 $\dfrac {11m}{1-m}{e}^{\dfrac {3-3x}{2+2x}}$ 代入 $x\gt 0$ 的条件，得到 $\dfrac {3}{x}-3$。然后，将 $x$ 趋向于无穷大时的极限值代入，得到最终结果 ${e}^{-\dfrac {3}{2}}$。
将原表达式 $\dfrac {11m}{x+1}{(\dfrac {3+x}{6+x})}^{\dfrac {x-1}{2}}$ 转换为 $\dfrac {11m}{1-m}{(\dfrac {6+x-3}{6+x})}^{\dfrac {x-1}{2}}$，这里假设 $x+1=1-m$，即 $m=1-x$。这一步主要是为了简化表达式，使其更易于处理。
步骤 2：应用极限
将表达式 $\lim _{x\rightarrow \infty }{(1-\dfrac {3}{6+x})}^{-\dfrac {6+x}{3}}\cdot (-\dfrac {3x-3}{12+2x})$ 应用到极限中。这里使用了极限的性质，即当 $x$ 趋向于无穷大时，$(1-\dfrac {3}{6+x})$ 的指数部分趋向于 $e$ 的负指数形式。同时，将 $-\dfrac {3x-3}{12+2x}$ 简化为 $-\dfrac {3}{2}$，因为当 $x$ 趋向于无穷大时，分子和分母中的 $x$ 项主导了整个表达式。
步骤 3：计算最终结果
将步骤 2 中得到的表达式 $\dfrac {11m}{1-m}{e}^{\dfrac {3-3x}{2+2x}}$ 代入 $x\gt 0$ 的条件，得到 $\dfrac {3}{x}-3$。然后，将 $x$ 趋向于无穷大时的极限值代入，得到最终结果 ${e}^{-\dfrac {3}{2}}$。