题目
4.将3个不同的球随机地放入4个杯子-|||-中,求所有杯子中球的最大个数分别为1,2,-|||-3的概率.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定所有可能的放置方式
将3个不同的球随机地放入4个杯子中，每个球有4种选择，因此总共有\(4^3 = 64\)种不同的放置方式。
步骤 2：计算最大个数为1的概率
最大个数为1意味着每个杯子中至多有1个球。这等价于将3个球放入4个杯子中的3个不同的杯子中，即从4个杯子中选择3个杯子，然后将3个球放入这3个杯子中，每个球放入一个杯子。因此，有\(C_4^3 \times 3! = 4 \times 6 = 24\)种方式。所以，最大个数为1的概率为\(\frac{24}{64} = \frac{3}{8}\)。
步骤 3：计算最大个数为2的概率
最大个数为2意味着有一个杯子中有2个球，另一个杯子中有1个球。首先，从4个杯子中选择1个杯子放2个球，有\(C_4^1 = 4\)种选择。然后，从3个球中选择2个球放入这个杯子，有\(C_3^2 = 3\)种选择。最后，将剩下的1个球放入剩下的3个杯子中的任意一个，有\(C_3^1 = 3\)种选择。因此，有\(4 \times 3 \times 3 = 36\)种方式。所以，最大个数为2的概率为\(\frac{36}{64} = \frac{9}{16}\)。
步骤 4：计算最大个数为3的概率
最大个数为3意味着有一个杯子中有3个球。从4个杯子中选择1个杯子放3个球，有\(C_4^1 = 4\)种选择。因此，有4种方式。所以，最大个数为3的概率为\(\frac{4}{64} = \frac{1}{16}\)。
将3个不同的球随机地放入4个杯子中，每个球有4种选择，因此总共有\(4^3 = 64\)种不同的放置方式。
步骤 2：计算最大个数为1的概率
最大个数为1意味着每个杯子中至多有1个球。这等价于将3个球放入4个杯子中的3个不同的杯子中，即从4个杯子中选择3个杯子，然后将3个球放入这3个杯子中，每个球放入一个杯子。因此，有\(C_4^3 \times 3! = 4 \times 6 = 24\)种方式。所以，最大个数为1的概率为\(\frac{24}{64} = \frac{3}{8}\)。
步骤 3：计算最大个数为2的概率
最大个数为2意味着有一个杯子中有2个球，另一个杯子中有1个球。首先，从4个杯子中选择1个杯子放2个球，有\(C_4^1 = 4\)种选择。然后，从3个球中选择2个球放入这个杯子，有\(C_3^2 = 3\)种选择。最后，将剩下的1个球放入剩下的3个杯子中的任意一个，有\(C_3^1 = 3\)种选择。因此，有\(4 \times 3 \times 3 = 36\)种方式。所以，最大个数为2的概率为\(\frac{36}{64} = \frac{9}{16}\)。
步骤 4：计算最大个数为3的概率
最大个数为3意味着有一个杯子中有3个球。从4个杯子中选择1个杯子放3个球，有\(C_4^1 = 4\)种选择。因此，有4种方式。所以，最大个数为3的概率为\(\frac{4}{64} = \frac{1}{16}\)。