2、设函数 f(x)= ) a(e)^x+1,xleqslant 0 x+b, xgt 0 . x=0 可导,则a,b应该取何值?

步骤 1：确定函数在 x=0 处的连续性
为了使函数在 x=0 处可导，首先需要保证函数在该点连续。这意味着函数在 x=0 处的左极限和右极限必须相等，且等于函数在该点的值。因此，我们有：
$$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$$
步骤 2：计算左极限和右极限
根据函数的定义，我们可以分别计算左极限和右极限：
$$\lim_{x \to 0^-} f(x) = a{e}^{0} + 1 = a + 1$$
$$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 + b = b$$
步骤 3：确定函数在 x=0 处的导数
为了使函数在 x=0 处可导，函数在该点的左导数和右导数必须相等。因此，我们有：
$$\lim_{x \to 0^-} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0}$$
步骤 4：计算左导数和右导数
根据函数的定义，我们可以分别计算左导数和右导数：
$$\lim_{x \to 0^-} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^-} \frac{a{e}^{x} + 1 - (a + 1)}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{a{e}^{x} - a}{x} = a$$
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x + b - (a + 1)}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x + b - a - 1}{x} = 1$$
步骤 5：求解 a 和 b 的值
根据步骤 2 和步骤 4 的结果，我们可以得到以下方程组：
$$a + 1 = b$$
$$a = 1$$
解这个方程组，我们得到：
$$a = 1$$
$$b = 2$$