题目
[题目]-|||-证明 (x)=(int )_(1)^xsqrt (1+{t)^3}dt 在 [ -1,+infty ] 上是单调增加函-|||-数,并求 ((f)^-1)'(0).
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定函数的可导性
函数 $f(x)={\int }_{1}^{x}\sqrt {1+{t}^{3}}dt$ 在区间 $[ -1,+\infty ] $ 上是可导的，因为被积函数 $\sqrt {1+{t}^{3}}$ 在该区间上连续。
步骤 2：计算导数
根据微积分基本定理，$f'(x)=\sqrt {1+{x}^{3}}$。由于 $x\gt -1$，则 $1+{x}^{3}\gt 0$，因此 $\sqrt {1+{x}^{3}}\gt 0$，即 $f'(x)\gt 0$。
步骤 3：证明单调性
由于 $f'(x)\gt 0$，函数 $f(x)$ 在区间 $[ -1,+\infty ] $ 上是单调增加的。
步骤 4：求 $({f}^{-1})'(0)$
注意到 $f(1)=0$，因此 $f^{-1}(0)=1$。根据反函数的导数公式，$({f}^{-1})'(0)=\dfrac {1}{f'(1)}=\dfrac {1}{\sqrt {1+{1}^{3}}}=\dfrac {1}{\sqrt {2}}=\dfrac {\sqrt {2}}{2}$。
函数 $f(x)={\int }_{1}^{x}\sqrt {1+{t}^{3}}dt$ 在区间 $[ -1,+\infty ] $ 上是可导的，因为被积函数 $\sqrt {1+{t}^{3}}$ 在该区间上连续。
步骤 2：计算导数
根据微积分基本定理，$f'(x)=\sqrt {1+{x}^{3}}$。由于 $x\gt -1$，则 $1+{x}^{3}\gt 0$，因此 $\sqrt {1+{x}^{3}}\gt 0$，即 $f'(x)\gt 0$。
步骤 3：证明单调性
由于 $f'(x)\gt 0$，函数 $f(x)$ 在区间 $[ -1,+\infty ] $ 上是单调增加的。
步骤 4：求 $({f}^{-1})'(0)$
注意到 $f(1)=0$，因此 $f^{-1}(0)=1$。根据反函数的导数公式，$({f}^{-1})'(0)=\dfrac {1}{f'(1)}=\dfrac {1}{\sqrt {1+{1}^{3}}}=\dfrac {1}{\sqrt {2}}=\dfrac {\sqrt {2}}{2}$。