设 y = f(x) = ln(x + sqrt(1 + x^2)).(1) 判断函数的奇偶性；(2) 求函数的反函数.

我们来逐步解决这个题目。

已知函数：
$y = f(x) = \ln\left(x + \sqrt{1 + x^2}\right)$

(1) 判断函数的奇偶性

我们要判断 $ f(-x) $ 与 $ f(x) $ 的关系，来确定函数是奇函数、偶函数，还是非奇非偶。

先计算 $ f(-x) $：

$f(-x) = \ln\left(-x + \sqrt{1 + (-x)^2}\right) = \ln\left(-x + \sqrt{1 + x^2}\right)$

现在我们考虑 $ f(-x) $ 与 $ f(x) $ 的关系。

我们尝试计算 $ f(x) + f(-x) $：

$f(x) + f(-x) = \ln\left(x + \sqrt{1 + x^2}\right) + \ln\left(-x + \sqrt{1 + x^2}\right)$

利用对数的性质 $ \ln a + \ln b = \ln(ab) $，得：

$= \ln\left[\left(x + \sqrt{1 + x^2}\right)\left(-x + \sqrt{1 + x^2}\right)\right]$

这是一个平方差公式：

$= \ln\left[ (\sqrt{1 + x^2})^2 - x^2 \right] = \ln\left[ (1 + x^2) - x^2 \right] = \ln(1) = 0$

所以：
$f(x) + f(-x) = 0 \quad \Rightarrow \quad f(-x) = -f(x)$

因此，函数 $ f(x) $ 是奇函数。

(2) 求函数的反函数

我们要求 $ y = f(x) = \ln(x + \sqrt{1 + x^2}) $ 的反函数。

即：解出 $ x $ 关于 $ y $ 的表达式，然后交换 $ x $ 和 $ y $。

从：
$y = \ln\left(x + \sqrt{1 + x^2}\right)$

两边取指数，消去对数：

$e^y = x + \sqrt{1 + x^2}$

我们现在要从这个方程中解出 $ x $。

记：
$e^y = x + \sqrt{1 + x^2} \quad \text{（1）}$

我们考虑构造一个共轭式。注意到：
$\left(x + \sqrt{1 + x^2}\right)\left(-x + \sqrt{1 + x^2}\right) = 1 \quad \text{（之前已经算过）}$

所以：
$\text{共轭式} = \sqrt{1 + x^2} - x = \frac{1}{x + \sqrt{1 + x^2}} = \frac{1}{e^y} = e^{-y}$

即：
$\sqrt{1 + x^2} - x = e^{-y} \quad \text{（2）}$

现在我们有：

• （1）式：$ x + \sqrt{1 + x^2} = e^y $
• （2）式：$ -x + \sqrt{1 + x^2} = e^{-y} $

将（1）和（2）相加：

$(x + \sqrt{1 + x^2}) + (-x + \sqrt{1 + x^2}) = e^y + e^{-y} \Rightarrow 2\sqrt{1 + x^2} = e^y + e^{-y} \Rightarrow \sqrt{1 + x^2} = \frac{e^y + e^{-y}}{2} = \cosh y$

但我们更关心 $ x $，所以用（1）减（2）：

$(x + \sqrt{1 + x^2}) - (-x + \sqrt{1 + x^2}) = e^y - e^{-y} \Rightarrow 2x = e^y - e^{-y} \Rightarrow x = \frac{e^y - e^{-y}}{2} = \sinh y$

所以：
$x = \sinh y$

即：
$y = f(x) \Rightarrow x = \sinh y \Rightarrow y = \sinh^{-1} x$

所以反函数是：
$f^{-1}(x) = \sinh^{-1} x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} \quad \text{？不对！}$

注意：我们得到的是 $ x = \sinh y $，即 $ y = \sinh^{-1} x $，所以反函数是：

$f^{-1}(x) = \sinh^{-1}(x)$

但我们也可以写出显式表达式。

从上面我们有：
$x = \frac{e^y - e^{-y}}{2} \quad \text{但这不是我们要的}$

我们要的是：已知 $ y = f(x) $，反函数是 $ x = f^{-1}(y) $，即：

$x = \frac{e^y - e^{-y}}{2} \Rightarrow f^{-1}(y) = \frac{e^y - e^{-y}}{2}$

所以把变量换回来，反函数为：

$f^{-1}(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$

也就是：
$f^{-1}(x) = \sinh x$

结论：

(1) 函数 $ f(x) $ 是 奇函数。

(2) 反函数是 $ f^{-1}(x) = \dfrac{e^x - e^{-x}}{2} $，即双曲正弦函数 $ \sinh x $。

最终答案：

(1) 函数 $ f(x) $ 是奇函数。

(2) 反函数为：
$f^{-1}(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$

即：
$\boxed{ \begin{aligned}&\text{(1) } f(x) \text{ 是奇函数} \\&\text{(2) } f^{-1}(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}\end{aligned} }$