题目
求下列微分方程的通解:-|||-dfrac (dy)(dx)+2xy=4x;
题目解答
答案
解析
步骤 1：识别方程类型
给定的微分方程 $\dfrac {dy}{dx}+2xy=4x$ 是一阶线性微分方程，因为它可以写成 $\dfrac {dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$ 的形式，其中 $P(x)=2x$ 和 $Q(x)=4x$。
步骤 2：求解积分因子
积分因子 $\mu(x)$ 可以通过公式 $\mu(x)=e^{\int P(x)dx}$ 计算。将 $P(x)=2x$ 代入，得到 $\mu(x)=e^{\int 2x dx}=e^{x^2}$。
步骤 3：应用积分因子
将积分因子 $\mu(x)=e^{x^2}$ 乘以原方程的两边，得到 $e^{x^2}\dfrac {dy}{dx}+2xe^{x^2}y=4xe^{x^2}$。左边是 $(e^{x^2}y)'$ 的导数，因此方程可以写成 $(e^{x^2}y)'=4xe^{x^2}$。
步骤 4：积分求解
对两边积分，得到 $e^{x^2}y=\int 4xe^{x^2}dx$。令 $u=x^2$，则 $du=2xdx$，因此 $\int 4xe^{x^2}dx=2\int e^udu=2e^u+C=2e^{x^2}+C$。所以 $e^{x^2}y=2e^{x^2}+C$。
步骤 5：求解 $y$
将 $e^{x^2}y=2e^{x^2}+C$ 两边除以 $e^{x^2}$，得到 $y=2+\dfrac{C}{e^{x^2}}$。由于 $C$ 是任意常数，可以写成 $y=2+Ce^{-x^2}$。
给定的微分方程 $\dfrac {dy}{dx}+2xy=4x$ 是一阶线性微分方程，因为它可以写成 $\dfrac {dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$ 的形式，其中 $P(x)=2x$ 和 $Q(x)=4x$。
步骤 2：求解积分因子
积分因子 $\mu(x)$ 可以通过公式 $\mu(x)=e^{\int P(x)dx}$ 计算。将 $P(x)=2x$ 代入，得到 $\mu(x)=e^{\int 2x dx}=e^{x^2}$。
步骤 3：应用积分因子
将积分因子 $\mu(x)=e^{x^2}$ 乘以原方程的两边，得到 $e^{x^2}\dfrac {dy}{dx}+2xe^{x^2}y=4xe^{x^2}$。左边是 $(e^{x^2}y)'$ 的导数，因此方程可以写成 $(e^{x^2}y)'=4xe^{x^2}$。
步骤 4：积分求解
对两边积分，得到 $e^{x^2}y=\int 4xe^{x^2}dx$。令 $u=x^2$，则 $du=2xdx$，因此 $\int 4xe^{x^2}dx=2\int e^udu=2e^u+C=2e^{x^2}+C$。所以 $e^{x^2}y=2e^{x^2}+C$。
步骤 5：求解 $y$
将 $e^{x^2}y=2e^{x^2}+C$ 两边除以 $e^{x^2}$，得到 $y=2+\dfrac{C}{e^{x^2}}$。由于 $C$ 是任意常数，可以写成 $y=2+Ce^{-x^2}$。