求函数 =ln (x+y) 在抛物线 ^2=4x 上点(1,2)处,沿着这抛物线在该点处偏向-|||-x轴正向的切线方向的方向导数.

步骤 1：求切线斜率
在抛物线 ${y}^{2}=4x$ 上，对 $x$ 求导，得到 $2y\dfrac {dy}{dx}=4$。因此，$\dfrac {dy}{dx}=\dfrac {2}{y}$。在点(1,2)处，$\dfrac {dy}{dx}=\dfrac {2}{2}=1$，即切线斜率为1。

步骤 2：确定切线方向
切线斜率为1，因此切线方向向量为 $(1,1)$。单位方向向量为 ${e}_{1}=(\dfrac {\sqrt {2}}{2},\dfrac {\sqrt {2}}{2})$。

步骤 3：计算偏导数
计算函数 $z=\ln (x+y)$ 在点(1,2)处的偏导数。$\dfrac {\partial z}{\partial x}=\dfrac {1}{x+y}$，$\dfrac {\partial z}{\partial y}=\dfrac {1}{x+y}$。在点(1,2)处，$\dfrac {\partial z}{\partial x}=\dfrac {1}{1+2}=\dfrac {1}{3}$，$\dfrac {\partial z}{\partial y}=\dfrac {1}{1+2}=\dfrac {1}{3}$。

步骤 4：计算方向导数
方向导数为 $\dfrac {\partial z}{\partial l}=\dfrac {\partial z}{\partial x}\cdot \dfrac {\sqrt {2}}{2}+\dfrac {\partial z}{\partial y}\cdot \dfrac {\sqrt {2}}{2}=\dfrac {1}{3}\cdot \dfrac {\sqrt {2}}{2}+\dfrac {1}{3}\cdot \dfrac {\sqrt {2}}{2}=\dfrac {\sqrt {2}}{3}$。