题目
6、 lim _(xarrow 0)dfrac (sqrt {1+xsin x)-1}({e)^(x^2)-1}
题目解答
答案
解析
步骤 1：应用洛必达法则
由于当$x\rightarrow 0$时，分子和分母都趋近于0，因此可以应用洛必达法则。洛必达法则指出，如果$\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f(x)}{g(x)}$是$\dfrac {0}{0}$或$\dfrac {\infty }{\infty }$的形式，那么$\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f(x)}{g(x)}=\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f'(x)}{g'(x)}$，只要后者存在或为无穷大。
步骤 2：求导
分子的导数为$\dfrac {1}{2\sqrt {1+x\sin x}}\cdot (\sin x+x\cos x)$，分母的导数为$2x{e}^{{x}^{2}}$。
步骤 3：计算极限
将$x\rightarrow 0$代入导数后的表达式，得到$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\dfrac {1}{2\sqrt {1+x\sin x}}\cdot (\sin x+x\cos x)}{2x{e}^{{x}^{2}}}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\sin x+x\cos x}{4x\sqrt {1+x\sin x}{e}^{{x}^{2}}}$。由于$\sin x$和$x\cos x$在$x\rightarrow 0$时分别趋近于0和1，而分母中的$x$和$\sqrt {1+x\sin x}{e}^{{x}^{2}}$分别趋近于0和1，因此极限值为$\dfrac {1}{2}$。
由于当$x\rightarrow 0$时，分子和分母都趋近于0，因此可以应用洛必达法则。洛必达法则指出，如果$\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f(x)}{g(x)}$是$\dfrac {0}{0}$或$\dfrac {\infty }{\infty }$的形式，那么$\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f(x)}{g(x)}=\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f'(x)}{g'(x)}$，只要后者存在或为无穷大。
步骤 2：求导
分子的导数为$\dfrac {1}{2\sqrt {1+x\sin x}}\cdot (\sin x+x\cos x)$，分母的导数为$2x{e}^{{x}^{2}}$。
步骤 3：计算极限
将$x\rightarrow 0$代入导数后的表达式，得到$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\dfrac {1}{2\sqrt {1+x\sin x}}\cdot (\sin x+x\cos x)}{2x{e}^{{x}^{2}}}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\sin x+x\cos x}{4x\sqrt {1+x\sin x}{e}^{{x}^{2}}}$。由于$\sin x$和$x\cos x$在$x\rightarrow 0$时分别趋近于0和1，而分母中的$x$和$\sqrt {1+x\sin x}{e}^{{x}^{2}}$分别趋近于0和1，因此极限值为$\dfrac {1}{2}$。