题目
甲乙丙3为同学同时独立参加《概率论与数理统计》考试，不及格的概率分别是0.4, 0.3, 0.5。(1)求恰有两位同学不及格的概率；(2)若已经知道这3位同学中有2位不及格，求其中1位是同学乙的概率。
甲乙丙$$3$$为同学同时独立参加《概率论与数理统计》考试，不及格的概率分别是$$0.4$$, $$0.3$$, $$0.5$$。$$(1)$$求恰有两位同学不及格的概率；$$(2)$$若已经知道这$$3$$位同学中有$$2$$位不及格，求其中$$1$$位是同学乙的概率。
题目解答
答案
设$$A$$, $$B$$, $$C$$分别表示：甲、乙、丙同学不及格
则$$P(A)=0.4$$, $$P(B)=0.3$$, $$P(C)=0.5$$
由题意，得：$$A$$, $$B$$, $$C$$相互独立
$$(1)$$事件“恰有$$2$$位同学不及格”为
$$D$$$$=0.4\times 0.3\times (1-0.5)+(1-0.4)$$$$\times 0.3\times $$$$0.5+$$$$0.4\times (1-0.3)\times 0.5$$$$=0.29$$
$$(2)$$$$P(B|D)={P(BD)\over P(D)}={15\over29}$$
解析
步骤 1：计算事件$$D$$的概率
$$D$$表示恰有两位同学不及格，即$$A$$和$$B$$不及格而$$C$$及格，$$A$$和$$C$$不及格而$$B$$及格，$$B$$和$$C$$不及格而$$A$$及格。因此，$$D$$的概率为：
$$P(D) = P(A)P(B)(1-P(C)) + P(A)(1-P(B))P(C) + (1-P(A))P(B)P(C)$$
$$= 0.4 \times 0.3 \times (1-0.5) + (1-0.4) \times 0.3 \times 0.5 + 0.4 \times (1-0.3) \times 0.5$$
$$= 0.4 \times 0.3 \times 0.5 + 0.6 \times 0.3 \times 0.5 + 0.4 \times 0.7 \times 0.5$$
$$= 0.06 + 0.09 + 0.14$$
$$= 0.29$$
步骤 2：计算事件$$B$$在事件$$D$$下的条件概率
$$P(B|D)$$表示在恰有两位同学不及格的条件下，其中一位是乙的概率。根据条件概率的定义，有：
$$P(B|D) = \frac{P(BD)}{P(D)}$$
其中，$$P(BD)$$表示事件$$B$$和事件$$D$$同时发生的概率，即乙不及格且恰有两位同学不及格的概率。由于$$D$$已经包含了乙不及格的情况，所以$$P(BD)$$就是乙不及格且另外一位同学不及格的概率，即：
$$P(BD) = P(A)P(B)(1-P(C)) + (1-P(A))P(B)P(C)$$
$$= 0.4 \times 0.3 \times 0.5 + 0.6 \times 0.3 \times 0.5$$
$$= 0.06 + 0.09$$
$$= 0.15$$
因此，$$P(B|D) = \frac{0.15}{0.29} = \frac{15}{29}$$
$$D$$表示恰有两位同学不及格，即$$A$$和$$B$$不及格而$$C$$及格，$$A$$和$$C$$不及格而$$B$$及格，$$B$$和$$C$$不及格而$$A$$及格。因此，$$D$$的概率为：
$$P(D) = P(A)P(B)(1-P(C)) + P(A)(1-P(B))P(C) + (1-P(A))P(B)P(C)$$
$$= 0.4 \times 0.3 \times (1-0.5) + (1-0.4) \times 0.3 \times 0.5 + 0.4 \times (1-0.3) \times 0.5$$
$$= 0.4 \times 0.3 \times 0.5 + 0.6 \times 0.3 \times 0.5 + 0.4 \times 0.7 \times 0.5$$
$$= 0.06 + 0.09 + 0.14$$
$$= 0.29$$
步骤 2：计算事件$$B$$在事件$$D$$下的条件概率
$$P(B|D)$$表示在恰有两位同学不及格的条件下，其中一位是乙的概率。根据条件概率的定义，有：
$$P(B|D) = \frac{P(BD)}{P(D)}$$
其中，$$P(BD)$$表示事件$$B$$和事件$$D$$同时发生的概率，即乙不及格且恰有两位同学不及格的概率。由于$$D$$已经包含了乙不及格的情况，所以$$P(BD)$$就是乙不及格且另外一位同学不及格的概率，即：
$$P(BD) = P(A)P(B)(1-P(C)) + (1-P(A))P(B)P(C)$$
$$= 0.4 \times 0.3 \times 0.5 + 0.6 \times 0.3 \times 0.5$$
$$= 0.06 + 0.09$$
$$= 0.15$$
因此，$$P(B|D) = \frac{0.15}{0.29} = \frac{15}{29}$$