题目
3.(1)已知A是四阶实对称矩阵,且 A^2-3A+2E=0. 若齐次方程组 (E-A)x=0 的每一个解均可由α线性表出，则A的特征值是____.
3.(1)已知A是四阶实对称矩阵,且 $A^{2}-3A+2E=0$. 若齐次方程组 $(E-A)x=0$ 的每一个解均可由α线性表出，则A的特征值是____.
题目解答
答案
由方程 $A^2 - 3A + 2E = 0$，设特征值为 $\lambda$，代入得 $\lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0$，解得 $\lambda = 1$ 或 $\lambda = 2$。
已知 $(E-A)x=0$ 的解可由 $\alpha$ 线性表出，即解空间一维，秩 $r(E-A) = 3$。
实对称矩阵可对角化，特征值几何重数等于代数重数。
$\lambda = 1$ 的几何重数为1，故代数重数为1，$\lambda = 2$ 的代数重数为3。
答案：$\boxed{1, 2, 2, 2}$
解析
步骤 1：求解特征值
由方程 $A^2 - 3A + 2E = 0$，设特征值为 $\lambda$，代入得 $\lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0$，解得 $\lambda = 1$ 或 $\lambda = 2$。
步骤 2：分析齐次方程组 $(E-A)x=0$ 的解空间
已知 $(E-A)x=0$ 的解可由 $\alpha$ 线性表出，即解空间一维，秩 $r(E-A) = 3$。
步骤 3：确定特征值的代数重数
实对称矩阵可对角化，特征值几何重数等于代数重数。 $\lambda = 1$ 的几何重数为1，故代数重数为1，$\lambda = 2$ 的代数重数为3。
由方程 $A^2 - 3A + 2E = 0$，设特征值为 $\lambda$，代入得 $\lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0$，解得 $\lambda = 1$ 或 $\lambda = 2$。
步骤 2：分析齐次方程组 $(E-A)x=0$ 的解空间
已知 $(E-A)x=0$ 的解可由 $\alpha$ 线性表出，即解空间一维，秩 $r(E-A) = 3$。
步骤 3：确定特征值的代数重数
实对称矩阵可对角化，特征值几何重数等于代数重数。 $\lambda = 1$ 的几何重数为1，故代数重数为1，$\lambda = 2$ 的代数重数为3。