题目
【题目】设f(z)在区域D内解析,试证明在D内下列条件是彼此等价的(即互为充要条件)(1)f(z)=常数;（2) f'(z)=0 ;（3)Ref(z)=常数;(4)Imf(z)=常数;(5)f(z)解析;(6) |f(z)|= 常数.
【题目】设f(z)在区域D内解析,试证明在D内下列条件是彼此等价的(即互为充要条件)(1)f(z)=常数;（2) f'(z)=0 ;（3)Ref(z)=常数;(4)Imf(z)=常数;(5)f(z)解析;(6) |f(z)|= 常数.
题目解答
答案
【解析】证按 (1)⇒(2)⇒(3)⇒(4)= 5)(6)(1)的顺序证明(1)=(2)显然,f(z)=C=f'(z)=0.(2)=(3)设f′(z)=0,z∈D.因为f(z)在D内解析,对任意z∈D,f'(x)=(∂u)/(∂x)+i(∂v)/(∂x)=(∂v)/(∂y)-i(∂u)/(∂y)=0. 于是对任意z∈D,有u_u=0x y所以u(x,y)=C(常数),即Ref(z)=常数(3)=(4)设f(z)=u+iv,Ref(z)=C(常数).即u=C,因为f(z)在D内解析,所以a =(δu)/(δx)=0,(δv)/(δx)=-(δu)/(δy)=0 ,ay ax 'ax ay因此v(x,y)=C,即Imf(z)=C(常数).(4)=(5)若Imf(z)=C,f(z)=u+iC,f(z)=u-iC,因为f(z)在D内解析,所以(∂u)/(∂x)=(∂v)/(∂y)=(∂C)/(∂y)=0,(∂u)/(∂y)=-(∂v)/(∂x)=-(∂C)/(∂x)=0 即(∂u)/(∂x)=(∂(-v))/(∂y),(∂u)/(∂y)=(∂(-u))/(∂x), 因此,f(z)在D内解析(5)=(6)设g(z)=f(z)在D内解析,f(z)=u-iv,由C-R方程(∂u)/(∂x)=(∂v)/(∂y),(∂u)/(∂y)=(∂v)/(∂x) (1)又因为f(z)在D内解析,所以ax (∂v)/(∂y),(∂u)/(∂y)=-(∂v)/∂(∂x) (2)由式( a-(δv)/(by)=δ/(δ) (9v)/(9y),(δv)/(δx)=-(δv)/(δx) - l(∂v)/(∂x)=(∂v)/(∂y)=0 -__,所以==0,因此==C由 (1)(∂u)/(∂x)=(∂u)/(∂y)=0 ,得u=C.所以|f(z)|=|C1+C2i|=常数(6)=(1）设|f(z)|=√C,z∈D,所以在D内,u2+v2=C.若C=0,则u=v=0,f(z)=0,结论成立.若C≠0,将u2+v2=C的两边分别对x,y求偏导数,得(∂u)/(∂x)+2v(∂v)/(∂x)=0 (3)+20=02 (∂u)/(∂y)+2v(∂v)/(∂y)=0.(4)由于f(z)在D内解析,故有uax (∂v)/(∂y),(∂u)/(∂y)=-(∂v)/(∂x) 代入式(4),得2υ(∂u)/(∂x)-2u(∂v)/(∂x)=0. 0(5)联立式(3),(5)解方程组,因为2u2v=-4(u2+v2)=-4C≠0,2v-2u所以方程组有唯一解(∂u)/(∂x)=0,(∂v)/(∂x)=0 由此立即可得u_=0,ay ay所以u=C1,v=C2(C1,C2都是常数).即f(z)=C_1+iC_2
解析
【解析】
步骤 1：(1)⇒(2)
如果f(z)是常数，那么f'(z)=0。
步骤 2：(2)⇒(3)
如果f'(z)=0，那么f(z)在D内解析，对任意z∈D，有f'(z)=(∂u)/(∂x)+i(∂v)/(∂x)=(∂v)/(∂y)-i(∂u)/(∂y)=0。因此，对任意z∈D，有(∂u)/(∂x)=0和(∂u)/(∂y)=0，所以u(x,y)=C(常数)，即Ref(z)=常数。
步骤 3：(3)⇒(4)
如果Ref(z)=C(常数)，那么u=C。因为f(z)在D内解析，所以(∂u)/(∂x)=0，(∂v)/(∂x)=-(∂u)/(∂y)=0。因此，v(x,y)=C，即Imf(z)=C(常数)。
步骤 4：(4)⇒(5)
如果Imf(z)=C，那么f(z)=u+iC，f(z)=u-iC。因为f(z)在D内解析，所以(∂u)/(∂x)=(∂v)/(∂y)=(∂C)/(∂y)=0，(∂u)/(∂y)=-(∂v)/(∂x)=-(∂C)/(∂x)=0。因此，(∂u)/(∂x)=(∂(-v))/(∂y)，(∂u)/(∂y)=(∂(-u))/(∂x)，所以f(z)在D内解析。
步骤 5：(5)⇒(6)
如果f(z)在D内解析，那么f(z)=u-iv。由C-R方程(∂u)/(∂x)=(∂v)/(∂y)，(∂u)/(∂y)=(∂v)/(∂x)。又因为f(z)在D内解析，所以(∂v)/(∂y)=(∂u)/(∂x)，(∂u)/(∂y)=-(∂v)/(∂x)。因此，(∂u)/(∂x)=(∂u)/(∂y)=0，所以u=C。所以|f(z)|=|C1+C2i|=常数。
步骤 6：(6)⇒(1)
如果|f(z)|=√C，z∈D，所以在D内，u2+v2=C。若C=0，那么u=v=0，f(z)=0，结论成立。若C≠0，将u2+v2=C的两边分别对x,y求偏导数，得(∂u)/(∂x)+2v(∂v)/(∂x)=0，(∂u)/(∂y)+2v(∂v)/(∂y)=0。由于f(z)在D内解析，故有(∂v)/(∂y)=(∂u)/(∂x)，(∂u)/(∂y)=-(∂v)/(∂x)。代入式(4)，得2v(∂u)/(∂x)-2u(∂v)/(∂x)=0。联立式(3)，(5)解方程组，因为2u2v=-4(u2+v2)=-4C≠0，2v-2u，所以方程组有唯一解(∂u)/(∂x)=0，(∂v)/(∂x)=0。由此立即可得u_=0，ay ay所以u=C1，v=C2(C1，C2都是常数)。即f(z)=C_1+iC_2。
步骤 1：(1)⇒(2)
如果f(z)是常数，那么f'(z)=0。
步骤 2：(2)⇒(3)
如果f'(z)=0，那么f(z)在D内解析，对任意z∈D，有f'(z)=(∂u)/(∂x)+i(∂v)/(∂x)=(∂v)/(∂y)-i(∂u)/(∂y)=0。因此，对任意z∈D，有(∂u)/(∂x)=0和(∂u)/(∂y)=0，所以u(x,y)=C(常数)，即Ref(z)=常数。
步骤 3：(3)⇒(4)
如果Ref(z)=C(常数)，那么u=C。因为f(z)在D内解析，所以(∂u)/(∂x)=0，(∂v)/(∂x)=-(∂u)/(∂y)=0。因此，v(x,y)=C，即Imf(z)=C(常数)。
步骤 4：(4)⇒(5)
如果Imf(z)=C，那么f(z)=u+iC，f(z)=u-iC。因为f(z)在D内解析，所以(∂u)/(∂x)=(∂v)/(∂y)=(∂C)/(∂y)=0，(∂u)/(∂y)=-(∂v)/(∂x)=-(∂C)/(∂x)=0。因此，(∂u)/(∂x)=(∂(-v))/(∂y)，(∂u)/(∂y)=(∂(-u))/(∂x)，所以f(z)在D内解析。
步骤 5：(5)⇒(6)
如果f(z)在D内解析，那么f(z)=u-iv。由C-R方程(∂u)/(∂x)=(∂v)/(∂y)，(∂u)/(∂y)=(∂v)/(∂x)。又因为f(z)在D内解析，所以(∂v)/(∂y)=(∂u)/(∂x)，(∂u)/(∂y)=-(∂v)/(∂x)。因此，(∂u)/(∂x)=(∂u)/(∂y)=0，所以u=C。所以|f(z)|=|C1+C2i|=常数。
步骤 6：(6)⇒(1)
如果|f(z)|=√C，z∈D，所以在D内，u2+v2=C。若C=0，那么u=v=0，f(z)=0，结论成立。若C≠0，将u2+v2=C的两边分别对x,y求偏导数，得(∂u)/(∂x)+2v(∂v)/(∂x)=0，(∂u)/(∂y)+2v(∂v)/(∂y)=0。由于f(z)在D内解析，故有(∂v)/(∂y)=(∂u)/(∂x)，(∂u)/(∂y)=-(∂v)/(∂x)。代入式(4)，得2v(∂u)/(∂x)-2u(∂v)/(∂x)=0。联立式(3)，(5)解方程组，因为2u2v=-4(u2+v2)=-4C≠0，2v-2u，所以方程组有唯一解(∂u)/(∂x)=0，(∂v)/(∂x)=0。由此立即可得u_=0，ay ay所以u=C1，v=C2(C1，C2都是常数)。即f(z)=C_1+iC_2。