设f(x)= ^2)},xneq 0 0, x=0 . 求f(n)(0)。

考查要点：本题主要考查高阶导数在特定点的计算，涉及极限的性质和导数定义的应用，同时隐含对光滑非解析函数性质的理解。

解题核心思路：

1. 分析导数表达式结构：题目中给出的n阶导数形式为$\dfrac{P_n(x)e^{-1/x^2}}{x^{3n}}$，需判断其在$x \to 0$时的极限。
2. 比较指数函数与多项式的衰减/增长速度：$e^{-1/x^2}$的衰减速度远快于任何多项式分式$\dfrac{1}{x^{3n}}$的增长，因此整体极限为0。
3. 导数定义与极限关系：通过极限$\lim_{x \to 0} f^{(n)}(x) = 0$，结合导数在$x=0$处的连续性，得出$f^{(n)}(0) = 0$。

步骤1：分析导数表达式

当$x \neq 0$时，$f^{(n)}(x) = \dfrac{P_n(x)e^{-1/x^2}}{x^{3n}}$，其中$P_n(x)$是关于$x$的多项式。

步骤2：计算极限$\lim_{x \to 0} f^{(n)}(x)$

• 指数项的极限：$\lim_{x \to 0} e^{-1/x^2} = 0$，因为当$x \to 0$时，$-1/x^2 \to -\infty$，指数函数趋近于0。
• 分式的极限：$\lim_{x \to 0} \dfrac{P_n(x)}{x^{3n}}$中，$P_n(x)$在$x \to 0$时可能趋近于常数或0，但分母$x^{3n} \to 0$，分式本身可能发散。
• 整体极限：尽管分式发散，但$e^{-1/x^2}$的衰减速度远快于分式的发散速度，因此整体极限为0：
  $\lim_{x \to 0} \dfrac{P_n(x)e^{-1/x^2}}{x^{3n}} = 0.$

步骤3：确定$f^{(n)}(0)$的值

根据导数的连续性，若$\lim_{x \to 0} f^{(n)}(x) = 0$，则$f^{(n)}(0) = 0$。