题目
二阶常系数非齐次线性微分方程 y'' - 5y' + 6y = xe^-x的特解 y^*的正确假设形式为: A. x(Ax + B)e^-x B. (Ax + B)e^-x C. Ax^2e^-x D. x^2(Ax + B)e^-x
$$ 二阶常系数非齐次线性微分方程 $y'' - 5y' + 6y = xe^{-x}$的特解 $y^{*}$的正确假设形式为: $$
- A. $$ $x(Ax + B)e^{-x}$ $$
- B. $$ $(Ax + B)e^{-x}$ $$
- C. $$ $Ax^{2}e^{-x}$ $$
- D. $$ $x^{2}(Ax + B)e^{-x}$ $$
题目解答
答案
B
解析
步骤 1：确定齐次方程的特征方程
给定的微分方程是 $y'' - 5y' + 6y = xe^{-x}$。首先，我们考虑对应的齐次方程 $y'' - 5y' + 6y = 0$。其特征方程为 $r^2 - 5r + 6 = 0$，解得 $r = 2$ 或 $r = 3$。因此，齐次方程的通解为 $y_h = C_1e^{2x} + C_2e^{3x}$。
步骤 2：确定非齐次方程的特解形式
非齐次项为 $xe^{-x}$，根据非齐次项的形式，我们假设特解形式为 $y^{*} = (Ax + B)e^{-x}$。这里，我们假设特解形式为 $(Ax + B)e^{-x}$，而不是 $x(Ax + B)e^{-x}$ 或 $x^{2}(Ax + B)e^{-x}$，因为 $e^{-x}$ 不是齐次方程的解，所以不需要乘以 $x$ 或 $x^{2}$。
步骤 3：验证特解形式
将 $y^{*} = (Ax + B)e^{-x}$ 代入原方程，验证其是否满足方程。由于 $e^{-x}$ 不是齐次方程的解，所以假设形式 $(Ax + B)e^{-x}$ 是正确的。
给定的微分方程是 $y'' - 5y' + 6y = xe^{-x}$。首先，我们考虑对应的齐次方程 $y'' - 5y' + 6y = 0$。其特征方程为 $r^2 - 5r + 6 = 0$，解得 $r = 2$ 或 $r = 3$。因此，齐次方程的通解为 $y_h = C_1e^{2x} + C_2e^{3x}$。
步骤 2：确定非齐次方程的特解形式
非齐次项为 $xe^{-x}$，根据非齐次项的形式，我们假设特解形式为 $y^{*} = (Ax + B)e^{-x}$。这里，我们假设特解形式为 $(Ax + B)e^{-x}$，而不是 $x(Ax + B)e^{-x}$ 或 $x^{2}(Ax + B)e^{-x}$，因为 $e^{-x}$ 不是齐次方程的解，所以不需要乘以 $x$ 或 $x^{2}$。
步骤 3：验证特解形式
将 $y^{*} = (Ax + B)e^{-x}$ 代入原方程，验证其是否满足方程。由于 $e^{-x}$ 不是齐次方程的解，所以假设形式 $(Ax + B)e^{-x}$ 是正确的。