题目

设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份，随机地抽取一个地区的报名表，从中先后抽出2份。（1）求先抽到的一份是女生报名表的概率；（2）已知后抽到的一份是男生报名表，求先抽到的一份是女生报名表的概率。

设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份，随机地抽取一个地区的报名表，从中先后抽出2份。

（1）求先抽到的一份是女生报名表的概率；

（2）已知后抽到的一份是男生报名表，求先抽到的一份是女生报名表的概率。

题目解答

答案

由题意可知，求先抽到的是一份是女生报名表的概率问题是一个全概率问题，为此,设事件 $B_{i}(i=1,2,3)\text{表示报名表是第 i个地区的},$

$A_j(j=1,2)\text{表示第 }j\text{ 次抽到的报名表是男生报名表的事件,}$

则 $P\left(B_{1}\right)=P\left(B_{2}\right)=P\left(B_{3}\right)=\frac{1}{3}, P(A_{1}\mid B_{1})=\frac{7}{10},\quad P(A_{1}\mid B_{2})=\frac{8}{15},\quad P(A_{1}\mid B_{3})=\frac{20}{25},$

从而， $P(\overline{A}_{1}\mid B_{1})=\frac{3}{10},\quad P(\overline{A}_{1}\mid B_{2})=\frac{7}{15},\quad P(\overline{A}_{1}\mid B_{3})=\frac{5}{25}.$

（1）

$P(\overline{A}_{1})=\sum_{i=1}^{3}P(B_{i})P(\overline{A}_{1}|B_{i})=\frac{1}{3}\left(\frac{3}{10}+\frac{7}{15}+\frac{5}{25}\right)=\frac{29}{90},$

即先抽到的一份是女生报名表的概率为 $\frac{29}{90}$

（2） $P(\overline{A}_{1}|A_{2})=\frac{P(\overline{A}_{1}A_{2})}{P(A_{2})},$ 而 $P(A_2)=\sum_{i=1}^3P(B_i)P(A_2\mid B_i)=\frac13\left(\frac7{10}+\frac8{15}+\frac{20}{25}\right)=\frac{61}{90},$

$P(\overline{A}_{1}A_{2})=\sum_{i=1}^{3}P(B_{i})P(\overline{A}_{1}A_{2}\mid B_{i})=\frac{1}{3}\Big(\frac{7}{30}+\frac{8}{30}+\frac{5}{30}\Big)=\frac{2}{9},$

其中， $P(\overline{A}_{1}A_{2}|B_{1})=\frac{3}{10}\times\frac{7}{9}=\frac{7}{30},P(\overline{A}_{1}A_{2}\mid B_{2})=\frac{7}{15}\times\frac{8}{14}=\frac{8}{30},P(\overline{A}_{1}A_{2}\mid B_{3})= \frac{5}{25}\times\frac{20}{24}=\frac{5}{30},$

$,\text{从而有 }P(\overline{A}_1|A_2)=\frac{P(\overline{A}_1A_2)}{P(A_2)}=\frac{20}{61}.$

即后抽到的一份是男生报名表，先抽到的一份是女生报名表的概率为 $\frac{20}{61}$

解析

考查要点：本题主要考查全概率公式和条件概率的应用，涉及分层抽样和无放回抽样的概率计算。

解题思路：

第一问：由于抽取地区是等可能的，需分别计算每个地区抽到女生的概率，再通过全概率公式求和。
第二问：已知第二次抽到男生，求第一次抽到女生的概率，需用贝叶斯定理，计算联合概率后求比值。

关键点：

分层抽样：三个地区考生人数和女生人数不同，需分别处理。
无放回抽样：第一次抽样结果会影响第二次的概率。
条件概率简化：第二次抽到男生的概率可直接用地区男生比例计算（期望值对称性）。

（1）先抽到女生的概率

确定地区概率：每个地区被选中的概率均为$\dfrac{1}{3}$。
计算各地区女生概率：
- 地区1：$\dfrac{3}{10}$
- 地区2：$\dfrac{7}{15}$
- 地区3：$\dfrac{5}{25}$
全概率公式求和：
$P(\text{第一次女生}) = \dfrac{1}{3} \left( \dfrac{3}{10} + \dfrac{7}{15} + \dfrac{5}{25} \right) = \dfrac{29}{90}$

（2）已知第二次抽到男生，求第一次抽到女生的概率

计算分母$P(\text{第二次男生})$：
- 每个地区男生比例分别为$\dfrac{7}{10}$、$\dfrac{8}{15}$、$\dfrac{20}{25}$。
- 全概率公式求和：
  $P(\text{第二次男生}) = \dfrac{1}{3} \left( \dfrac{7}{10} + \dfrac{8}{15} + \dfrac{20}{25} \right) = \dfrac{61}{90}$
计算分子$P(\text{第一次女生且第二次男生})$：
- 各地区联合概率：
  - 地区1：$\dfrac{3}{10} \cdot \dfrac{7}{9} = \dfrac{7}{30}$
  - 地区2：$\dfrac{7}{15} \cdot \dfrac{8}{14} = \dfrac{8}{30}$
  - 地区3：$\dfrac{5}{25} \cdot \dfrac{20}{24} = \dfrac{5}{30}$
- 总和：
  $P(\text{第一次女生且第二次男生}) = \dfrac{1}{3} \left( \dfrac{7}{30} + \dfrac{8}{30} + \dfrac{5}{30} \right) = \dfrac{20}{90}$
贝叶斯定理求比值：
$P(\text{第一次女生} \mid \text{第二次男生}) = \dfrac{20/90}{61/90} = \dfrac{20}{61}$