题目

设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份，随机地抽取一个地区的报名表，从中先后抽出2份。（1）求先抽到的一份是女生报名表的概率；（2）已知后抽到的一份是男生报名表，求先抽到的一份是女生报名表的概率。

设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份，随机地抽取一个地区的报名表，从中先后抽出2份。

（1）求先抽到的一份是女生报名表的概率；

（2）已知后抽到的一份是男生报名表，求先抽到的一份是女生报名表的概率。

题目解答

答案

由题意可知，求先抽到的是一份是女生报名表的概率问题是一个全概率问题，为此,设事件 $B_{i}(i=1,2,3)\text{表示报名表是第 i个地区的},$

$A_j(j=1,2)\text{表示第 }j\text{ 次抽到的报名表是男生报名表的事件,}$

则 $P\left(B_{1}\right)=P\left(B_{2}\right)=P\left(B_{3}\right)=\frac{1}{3}, P(A_{1}\mid B_{1})=\frac{7}{10},\quad P(A_{1}\mid B_{2})=\frac{8}{15},\quad P(A_{1}\mid B_{3})=\frac{20}{25},$

从而， $P(\overline{A}_{1}\mid B_{1})=\frac{3}{10},\quad P(\overline{A}_{1}\mid B_{2})=\frac{7}{15},\quad P(\overline{A}_{1}\mid B_{3})=\frac{5}{25}.$

（1）

$P(\overline{A}_{1})=\sum_{i=1}^{3}P(B_{i})P(\overline{A}_{1}|B_{i})=\frac{1}{3}\left(\frac{3}{10}+\frac{7}{15}+\frac{5}{25}\right)=\frac{29}{90},$

即先抽到的一份是女生报名表的概率为 $\frac{29}{90}$

（2） $P(\overline{A}_{1}|A_{2})=\frac{P(\overline{A}_{1}A_{2})}{P(A_{2})},$ 而 $P(A_2)=\sum_{i=1}^3P(B_i)P(A_2\mid B_i)=\frac13\left(\frac7{10}+\frac8{15}+\frac{20}{25}\right)=\frac{61}{90},$

$P(\overline{A}_{1}A_{2})=\sum_{i=1}^{3}P(B_{i})P(\overline{A}_{1}A_{2}\mid B_{i})=\frac{1}{3}\Big(\frac{7}{30}+\frac{8}{30}+\frac{5}{30}\Big)=\frac{2}{9},$

其中， $P(\overline{A}_{1}A_{2}|B_{1})=\frac{3}{10}\times\frac{7}{9}=\frac{7}{30},P(\overline{A}_{1}A_{2}\mid B_{2})=\frac{7}{15}\times\frac{8}{14}=\frac{8}{30},P(\overline{A}_{1}A_{2}\mid B_{3})= \frac{5}{25}\times\frac{20}{24}=\frac{5}{30},$

$,\text{从而有 }P(\overline{A}_1|A_2)=\frac{P(\overline{A}_1A_2)}{P(A_2)}=\frac{20}{61}.$

即后抽到的一份是男生报名表，先抽到的一份是女生报名表的概率为 $\frac{20}{61}$

解析

步骤 1：定义事件
设事件${B}_{i}(i=1,2,3)$ 表示报名表是第i个地区的, ${A}_{j}(i=1,2)$ 表示第j次抽到的报名表是女生报名表的事件, 则
步骤 2：计算先抽到女生报名表的概率
$P(\overline {{A}_{1}}|{B}_{1})=\dfrac {3}{10}$ , $P(\overline {{A}_{1}}|{B}_{2})=\dfrac {7}{15}$ , $P(\overline {{A}_{1}}|{B}_{3})=\dfrac {5}{25}$
步骤 3：计算全概率
$P({A}_{1})=\sum _{i=1}^{3}P({B}_{i})P({A}_{1}|{B}_{i})=\dfrac {1}{3}(\dfrac {3}{10}+\dfrac {7}{15}+\dfrac {5}{25})=\dfrac {29}{90}$
步骤 4：计算后抽到男生报名表的概率
$P({A}_{2})=\sum _{i=1}^{3}P({B}_{i})P({A}_{2}|{B}_{i})=\dfrac {1}{3}(\dfrac {7}{10}+\dfrac {8}{15}+\dfrac {20}{25})=\dfrac {61}{90}$
步骤 5：计算先抽到女生报名表且后抽到男生报名表的概率
$P(\overline {{A}_{1}}{A}_{2})=\sum _{i=1}^{3}P({B}_{i})P(\overline {{A}_{1}}{A}_{2}|{B}_{i})=\dfrac {1}{3}(\dfrac {7}{30}+\dfrac {8}{30}+\dfrac {5}{30})$
步骤 6：计算条件概率
$P({\overline {{A}_{1}}|{A}_{2})}=\dfrac {P(\overline {{A}_{1}}{A}_{2})}{P({A}_{2})}=\dfrac {20}{61}$