设f(x)=x^3+(1+t)x^2+2x+2u,(x)=(x)^3+tx+u的最大公因式是一个二次多项式,求t,u的值.

步骤 1：使用辗转相除法求最大公因式
首先，我们使用辗转相除法来求解$f(x)$和$g(x)$的最大公因式。根据辗转相除法，我们有：
$$
f(x) = g(x)q(x) + r(x)
$$
其中，$q(x)$是商，$r(x)$是余式。由于题目中提到最大公因式是一个二次多项式，我们可以推断出$r(x)$是一个二次多项式。

步骤 2：计算$f(x)$除以$g(x)$的商和余式
我们计算$f(x)$除以$g(x)$的商和余式。首先，我们注意到$f(x)$和$g(x)$的最高次项都是$x^3$，因此商的最高次项是1。我们计算$f(x)$减去$g(x)$的倍数，使得最高次项相消，得到余式$r(x)$。具体地，我们有：
$$
f(x) - g(x) = (1+t)x^2 + 2x + 2u - tx - u = (1+t)x^2 + (2-t)x + (2u-u)
$$
因此，余式$r(x)$为：
$$
r(x) = (1+t)x^2 + (2-t)x + (2u-u)
$$
步骤 3：求解$r(x)$为二次多项式的条件
由于$r(x)$是一个二次多项式，我们需要$r(x)$的系数满足一定的条件。根据题目，最大公因式是一个二次多项式，这意味着$r(x)$不能被$g(x)$整除。因此，我们需要$r(x)$的系数满足一定的条件，使得$r(x)$不能被$g(x)$整除。具体地，我们需要$r(x)$的系数满足：
$$
1+t \neq 0, \quad 2-t \neq 0, \quad 2u-u \neq 0
$$
解得：
$$
t \neq -1, \quad t \neq 2, \quad u \neq 0
$$
步骤 4：求解$t$和$u$的值
由于$r(x)$是一个二次多项式，我们需要$r(x)$的系数满足一定的条件，使得$r(x)$不能被$g(x)$整除。根据题目，最大公因式是一个二次多项式，这意味着$r(x)$不能被$g(x)$整除。因此，我们需要$r(x)$的系数满足一定的条件，使得$r(x)$不能被$g(x)$整除。具体地，我们需要$r(x)$的系数满足：
$$
1+t = 0, \quad 2-t = 0, \quad 2u-u = 0
$$
解得：
$$
t = -1, \quad t = 2, \quad u = 0
$$
由于$t$和$u$不能同时满足上述条件，我们需要进一步分析。根据题目，最大公因式是一个二次多项式，这意味着$r(x)$不能被$g(x)$整除。因此，我们需要$r(x)$的系数满足一定的条件，使得$r(x)$不能被$g(x)$整除。具体地，我们需要$r(x)$的系数满足：
$$
1+t = 0, \quad 2-t = 0, \quad 2u-u = 0
$$
解得：
$$
t = -4, \quad u = 0
$$