题目
1 将以下线性规划问题化为标准型：max f(x)=x_(1)-2x_(2)+3x_(3)s.t. x_(1)+x_(2)+x_(3)leq6,x_(1)+2x_(2)+4x_(3)geq12,x_(1)-x_(2)+x_(3)geq2,x_(2)geq0,x_(3)geq0.
1 将以下线性规划问题化为标准型：
$max f(x)=x_{1}-2x_{2}+3x_{3}$
$s.t. x_{1}+x_{2}+x_{3}\leq6,$
$x_{1}+2x_{2}+4x_{3}\geq12,$
$x_{1}-x_{2}+x_{3}\geq2,$
$x_{2}\geq0,x_{3}\geq0.$
题目解答
答案
将原问题转换为标准型：
1. **目标函数**：由最大化转为最小化，即 $\text{min } -f(x) = -x_1 + 2x_2 - 3x_3$。
2. **约束条件**：
- $x_1 + x_2 + x_3 \leq 6$ 引入松弛变量 $x_4$，得 $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 6$。
- $x_1 + 2x_2 + 4x_3 \geq 12$ 引入剩余变量 $x_5$，得 $x_1 + 2x_2 + 4x_3 - x_5 = 12$。
- $x_1 - x_2 + x_3 \geq 2$ 引入剩余变量 $x_6$，得 $x_1 - x_2 + x_3 - x_6 = 2$。
3. **变量**：$x_2, x_3 \geq 0$，$x_1$ 为自由变量，可表示为 $x_1 = x_1^+ - x_1^-$，其中 $x_1^+, x_1^- \geq 0$。
**标准型**：
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
\text{min } & -x_1^+ + x_1^- + 2x_2 - 3x_3 \\
\text{s.t. } & (x_1^+ - x_1^-) + x_2 + x_3 + x_4 = 6, \\
& (x_1^+ - x_1^-) + 2x_2 + 4x_3 - x_5 = 12, \\
& (x_1^+ - x_1^-) - x_2 + x_3 - x_6 = 2, \\
& x_1^+, x_1^-, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6 \geq 0.
\end{array}
}
\]
解析
步骤 1：目标函数转换
将最大化问题转换为最小化问题，即 $\text{min } -f(x) = -x_1 + 2x_2 - 3x_3$。
步骤 2：约束条件转换
- 对于 $x_1 + x_2 + x_3 \leq 6$，引入松弛变量 $x_4$，得到 $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 6$。
- 对于 $x_1 + 2x_2 + 4x_3 \geq 12$，引入剩余变量 $x_5$，得到 $x_1 + 2x_2 + 4x_3 - x_5 = 12$。
- 对于 $x_1 - x_2 + x_3 \geq 2$，引入剩余变量 $x_6$，得到 $x_1 - x_2 + x_3 - x_6 = 2$。
步骤 3：变量转换
- $x_2, x_3 \geq 0$，保持不变。
- $x_1$ 为自由变量，可表示为 $x_1 = x_1^+ - x_1^-$，其中 $x_1^+, x_1^- \geq 0$。
将最大化问题转换为最小化问题，即 $\text{min } -f(x) = -x_1 + 2x_2 - 3x_3$。
步骤 2：约束条件转换
- 对于 $x_1 + x_2 + x_3 \leq 6$，引入松弛变量 $x_4$，得到 $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 6$。
- 对于 $x_1 + 2x_2 + 4x_3 \geq 12$，引入剩余变量 $x_5$，得到 $x_1 + 2x_2 + 4x_3 - x_5 = 12$。
- 对于 $x_1 - x_2 + x_3 \geq 2$，引入剩余变量 $x_6$，得到 $x_1 - x_2 + x_3 - x_6 = 2$。
步骤 3：变量转换
- $x_2, x_3 \geq 0$，保持不变。
- $x_1$ 为自由变量，可表示为 $x_1 = x_1^+ - x_1^-$，其中 $x_1^+, x_1^- \geq 0$。