题目
1.设A,B均为n阶方阵,则下列命题中正确的是 () .-|||-A.若 =0, 则 =0 或 =0 B.若 =1, 则 A=-|||-C. |AB|=|A||B| D. AB=BA
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析选项A
若 $AB=0$，则 $A=0$ 或 $B=0$。这个命题是不正确的。举个反例，设 $A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$，则 $AB=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}=0$，但 $A$ 和 $B$ 都不为零矩阵。
步骤 2：分析选项B
若 $AB=1$，则 $A=B^{-1}$。这个命题是不正确的。因为 $AB=1$ 只能说明 $A$ 和 $B$ 是互逆矩阵，但不能说明 $A$ 和 $B$ 相等。
步骤 3：分析选项C
$|AB|=|A||B|$。这个命题是正确的。行列式的乘法性质表明，两个矩阵的乘积的行列式等于这两个矩阵行列式的乘积。
步骤 4：分析选项D
$AB=BA$。这个命题是不正确的。矩阵乘法不满足交换律，即一般情况下 $AB \neq BA$。
若 $AB=0$，则 $A=0$ 或 $B=0$。这个命题是不正确的。举个反例，设 $A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$，则 $AB=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}=0$，但 $A$ 和 $B$ 都不为零矩阵。
步骤 2：分析选项B
若 $AB=1$，则 $A=B^{-1}$。这个命题是不正确的。因为 $AB=1$ 只能说明 $A$ 和 $B$ 是互逆矩阵，但不能说明 $A$ 和 $B$ 相等。
步骤 3：分析选项C
$|AB|=|A||B|$。这个命题是正确的。行列式的乘法性质表明，两个矩阵的乘积的行列式等于这两个矩阵行列式的乘积。
步骤 4：分析选项D
$AB=BA$。这个命题是不正确的。矩阵乘法不满足交换律，即一般情况下 $AB \neq BA$。