题目

2.将f(x)=(d)/(dx)((e^x-1)/(x))(xneq0)展开成x的幂级数为____.

2.将$f(x)=\frac{d}{dx}(\frac{e^{x}-1}{x})(x\neq0)$展开成x的幂级数为____.

题目解答

答案

首先，将 $ e^x $ 展开为幂级数： \[ e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \] 则 \[ \frac{e^x - 1}{x} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{n!} \] 对上式求导得 \[ f(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{e^x - 1}{x} \right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n-1)x^{n-2}}{n!} \] 调整求和指标，令 $ m = n - 1 $，则 \[ f(x) = \sum_{m=1}^{\infty} \frac{m x^{m-1}}{(m+1)!} \] 因此，$ f(x) $ 的幂级数展开为 \[ \boxed{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(n+1)!} x^{n-1}} \]

解析

考查要点：本题主要考查泰勒级数的展开及幂级数的求导运算。
解题思路：

  1. 展开$e^x$为幂级数，并构造$\frac{e^x - 1}{x}$的表达式；
  2. 对构造后的表达式逐项求导，注意调整求和指标；
  3. 化简求和形式，得到最终的幂级数表达式。
    关键点：
  • 泰勒展开式的正确应用，尤其是$e^x$的标准展开式；
  • 求导后调整求和指标，确保表达式简洁规范。

  1. 展开$e^x$为幂级数
    已知$e^x$的泰勒展开式为：
    $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$
    因此，$\frac{e^x - 1}{x}$可表示为：
    $\frac{e^x - 1}{x} = \frac{1}{x} \left( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} - 1 \right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{n!}$

  2. 对表达式求导
    对$\frac{e^x - 1}{x}$逐项求导：
    $f(x) = \frac{d}{dx} \left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{n!} \right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n-1)x^{n-2}}{n!}$

  3. 调整求和指标
    令$m = n - 1$，则$n = m + 1$，当$n \geq 1$时，$m \geq 0$。代入后：
    $f(x) = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{m x^{m-1}}{(m+1)!}$
    忽略$m=0$时的零项，调整求和下标为$m \geq 1$，即：
    $f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n x^{n-1}}{(n+1)!}$