【题目】利用曲线积分,求下列曲线所围成的图形的面积:(1)星形线 x=acos^3t y=asin^3 t;(2)椭圆 9x^2+16y^2=144 ;(3)圆 x^2+y^2=2ax .

考查要点：本题主要考查利用曲线积分计算平面图形面积的方法，需要掌握参数方程的建立及对称性简化积分的技巧。

解题思路：

1. 公式选择：使用曲线积分公式 $A = \frac{1}{2} \oint_L (x \, dy - y \, dx)$，根据曲线的参数方程代入计算。
2. 参数方程建立：根据曲线类型（星形线、椭圆、圆）选择合适的参数化方式。
3. 积分化简：利用三角恒等式（如 $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$）或对称性简化被积函数。

第（1）题：星形线 $x = a \cos^3 t,\ y = a \sin^3 t$

代入曲线积分公式

$A = \frac{1}{2} \oint_L x \, dy - y \, dx$

计算微分 $dx$ 和 $dy$

$dx = -3a \cos^2 t \sin t \, dt,\quad dy = 3a \sin^2 t \cos t \, dt$

代入积分表达式

$A = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} \left[ a \cos^3 t \cdot 3a \sin^2 t \cos t - a \sin^3 t \cdot (-3a \cos^2 t \sin t) \right] dt$

化简被积函数

$= \frac{3a^2}{2} \int_0^{2\pi} \left( \cos^4 t \sin^2 t + \sin^4 t \cos^2 t \right) dt = \frac{3a^2}{2} \int_0^{2\pi} \sin^2 t \cos^2 t \, dt$

利用三角恒等式

$\sin^2 t \cos^2 t = \frac{1}{4} \sin^2 2t = \frac{1}{8} (1 - \cos 4t)$

积分计算

$A = \frac{3a^2}{2} \cdot \frac{1}{8} \int_0^{2\pi} (1 - \cos 4t) \, dt = \frac{3a^2}{16} \cdot 2\pi = \frac{3\pi a^2}{8}$

第（2）题：椭圆 $9x^2 + 16y^2 = 144$

参数方程

$x = 4 \cos t,\quad y = 3 \sin t,\quad t \in [0, 2\pi)$

计算微分 $dx$ 和 $dy$

$dx = -4 \sin t \, dt,\quad dy = 3 \cos t \, dt$

代入曲线积分公式

$A = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} \left[ 4 \cos t \cdot 3 \cos t - 3 \sin t \cdot (-4 \sin t) \right] dt$

化简被积函数

$= \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} \left( 12 \cos^2 t + 12 \sin^2 t \right) dt = 6 \int_0^{2\pi} (\cos^2 t + \sin^2 t) \, dt = 6 \cdot 2\pi = 12\pi$

第（3）题：圆 $x^2 + y^2 = 2ax$

参数方程

$x = a + a \cos t,\quad y = a \sin t,\quad t \in [0, 2\pi)$

计算微分 $dx$ 和 $dy$

$dx = -a \sin t \, dt,\quad dy = a \cos t \, dt$

代入曲线积分公式

$A = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} \left[ (a + a \cos t) \cdot a \cos t - a \sin t \cdot (-a \sin t) \right] dt$

化简被积函数

$= \frac{a^2}{2} \int_0^{2\pi} \left( \cos t + \cos^2 t + \sin^2 t \right) dt = \frac{a^2}{2} \int_0^{2\pi} (1 + \cos t) \, dt$

积分计算

$= \frac{a^2}{2} \left[ 2\pi + 0 \right] = \pi a^2$