题目
【题目】利用曲线积分,求下列曲线所围成的图形的面积:(1)星形线 x=acos^3t y=asin^3 t;(2)椭圆 9x^2+16y^2=144 ;(3)圆 x^2+y^2=2ax .
【题目】利用曲线积分,求下列曲线所围成的图形的面积:(1)星形线 x=acos^3t y=asin^3 t;(2)椭圆 9x^2+16y^2=144 ;(3)圆 x^2+y^2=2ax .
题目解答
答案
【解析】解(1)A=1/2∮_Lxdy= 1/2∮_Lxdy-ydxxdy-ydx=1/2∫_0^(2π)[acos^3t(3asin^2tcost)-asin^3t(3acos^2t)(-sint)]dt [acos t(3asntoos t)- asin3t(3acost)(-sin t)]dt=(3a^2)/2∫_0^(2π)((cos^4tsin^2t+sin^4tcos^2t)dt (cos tint + sntcost)dt=(3a^2)/2∫_0^(2π)(sin^2tcos^2tdt) sintcostdt=(3a^2)/2∫_0^(2π)1/8(1-cos4t)dt=3/8πa^2 (2)正向椭圆 9x^2+16y^2=144 的参数方程为x=4cost , y=3sint t从0变到2π.A=1/2∮_2xdy-ydx =1/2∫_0^(2π)[4cost⋅3cost-3sint(-4sint)]dt =6∫_0^(2π)dt=12π (3)正向圆周 x^2+y^2=2ax ,即 (x-a)^2+y^2=a^2 的参数方程为x=a+acos t, y=asint ,t从0变到2π.A=1/2∮_Lxdy-ydx =1/2∫_0^(2π)[(a+acost)acost-asint(-asint)]dt =(a^2)/2∫_0^(2π)((1+cost)dt=πa^2).
解析
【解析】
步骤 1：计算星形线的面积
星形线的参数方程为 x=acos^3t, y=asin^3t，其中 t 从 0 变到 2π。根据曲线积分的公式，面积 A 可以表示为 A=1/2∮_Lxdy-ydx。将参数方程代入，得到 A=1/2∫_0^(2π)[acos^3t(3asin^2tcost)-asin^3t(3acos^2t)(-sint)]dt。化简后，得到 A=(3a^2)/2∫_0^(2π)(sin^2tcos^2t)dt。利用三角函数的恒等式，得到 A=(3a^2)/2∫_0^(2π)1/8(1-cos4t)dt。计算积分，得到 A=3/8πa^2。
步骤 2：计算椭圆的面积
椭圆的参数方程为 x=4cost, y=3sint，其中 t 从 0 变到 2π。根据曲线积分的公式，面积 A 可以表示为 A=1/2∮_Lxdy-ydx。将参数方程代入，得到 A=1/2∫_0^(2π)[4cost⋅3cost-3sint(-4sint)]dt。化简后，得到 A=6∫_0^(2π)dt。计算积分，得到 A=12π。
步骤 3：计算圆的面积
圆的参数方程为 x=a+acos t, y=asint，其中 t 从 0 变到 2π。根据曲线积分的公式，面积 A 可以表示为 A=1/2∮_Lxdy-ydx。将参数方程代入，得到 A=1/2∫_0^(2π)[(a+acost)acost-asint(-asint)]dt。化简后，得到 A=(a^2)/2∫_0^(2π)(1+cost)dt。计算积分，得到 A=πa^2。
步骤 1：计算星形线的面积
星形线的参数方程为 x=acos^3t, y=asin^3t，其中 t 从 0 变到 2π。根据曲线积分的公式，面积 A 可以表示为 A=1/2∮_Lxdy-ydx。将参数方程代入，得到 A=1/2∫_0^(2π)[acos^3t(3asin^2tcost)-asin^3t(3acos^2t)(-sint)]dt。化简后，得到 A=(3a^2)/2∫_0^(2π)(sin^2tcos^2t)dt。利用三角函数的恒等式，得到 A=(3a^2)/2∫_0^(2π)1/8(1-cos4t)dt。计算积分，得到 A=3/8πa^2。
步骤 2：计算椭圆的面积
椭圆的参数方程为 x=4cost, y=3sint，其中 t 从 0 变到 2π。根据曲线积分的公式，面积 A 可以表示为 A=1/2∮_Lxdy-ydx。将参数方程代入，得到 A=1/2∫_0^(2π)[4cost⋅3cost-3sint(-4sint)]dt。化简后，得到 A=6∫_0^(2π)dt。计算积分，得到 A=12π。
步骤 3：计算圆的面积
圆的参数方程为 x=a+acos t, y=asint，其中 t 从 0 变到 2π。根据曲线积分的公式，面积 A 可以表示为 A=1/2∮_Lxdy-ydx。将参数方程代入，得到 A=1/2∫_0^(2π)[(a+acost)acost-asint(-asint)]dt。化简后，得到 A=(a^2)/2∫_0^(2π)(1+cost)dt。计算积分，得到 A=πa^2。