[例12]设A B均为n阶方阵,(AB)^2=E,则有()A. AB=EB. AB=-EC. A^2 B^2=ED. (BA)^2=E

考查要点：本题主要考查矩阵乘法的性质，特别是关于矩阵乘积的幂等性及AB与BA的关系。

解题核心思路：

1. 关键性质：若$(AB)^2=E$，则$AB$是可逆矩阵，且$(AB)^{-1}=AB$。
2. 核心转化：通过矩阵乘法的结合律，将$(BA)^2$展开并利用$AB$的逆矩阵性质，推导出$(BA)^2=E$。
3. 排除干扰项：需注意矩阵乘法不满足交换律，因此需逐一验证选项是否必然成立。

选项D的验证

1. 展开$(BA)^2$：
   $(BA)^2 = BA \cdot BA = B(AB)A.$
2. 利用$(AB)^2=E$：
   由题意知$AB \cdot AB = E$，故$(AB)^{-1} = AB$。
3. 代入并化简：
   $B(AB)A = B \cdot (AB) \cdot A = B \cdot (AB)^{-1} \cdot A = B \cdot AB \cdot A = (BA)(BA) = (BA)^2.$
   进一步结合$(AB)^{-1} = AB$，可得：
   $B \cdot AB \cdot A = B \cdot B^{-1}A^{-1} \cdot A = E.$
   因此$(BA)^2 = E$，选项D正确。

其他选项分析

• 选项A/B：若$AB=E$或$AB=-E$，则$(AB)^2=E$成立，但存在反例（如$AB$为对合矩阵但不等于$\pm E$），故不必然成立。
• 选项C：矩阵乘法不满足交换律，$A^2B^2 \neq ABAB$，故不成立。