求指导本题解题过程，谢谢您！3.[单选题]函数 =(x)^2-2(y)^2 在点P(1,2)处沿从-|||-P(1,2)到点Q (3,4)的方向的方向导数为() ()

方向导数是函数在某一点沿特定方向的变化率，其计算核心是梯度向量与方向单位向量的点积。解题关键步骤包括：

1. 确定方向向量：由点P到Q的坐标差；
2. 求梯度向量：分别对x、y求偏导；
3. 单位化方向向量；
4. 点积计算：梯度与单位方向向量的点积即为方向导数。

步骤1：确定方向向量

从点P(1,2)到Q(3,4)的方向向量为：
$\overrightarrow{PQ} = (3-1, 4-2) = (2, 2)$

步骤2：求梯度向量

函数$z = x^2 - 2y^2$的偏导数为：
$\frac{\partial z}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -4y$
在点P(1,2)处：
$\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(1,2)} = 2 \times 1 = 2, \quad \frac{\partial z}{\partial y}\bigg|_{(1,2)} = -4 \times 2 = -8$
梯度向量为：
$\nabla z = (2, -8)$

步骤3：单位化方向向量

方向向量$\overrightarrow{PQ} = (2, 2)$的模长为：
$\|\overrightarrow{PQ}\| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
单位方向向量为：
$\mathbf{u} = \left( \frac{2}{2\sqrt{2}}, \frac{2}{2\sqrt{2}} \right) = \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$

步骤4：计算方向导数

方向导数为梯度与单位方向向量的点积：
$D_{\mathbf{u}} z = \nabla z \cdot \mathbf{u} = 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} + (-8) \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2 - 8}{\sqrt{2}} = \frac{-6}{\sqrt{2}} = -3\sqrt{2}$