题目
[题目]微分方程 =dfrac (y(1-x))(x) 的通解是 __-|||-__
题目解答
答案
解析
步骤 1：分离变量
将微分方程 $y'=\dfrac {y(1-x)}{x}$ 重写为 $\dfrac {dy}{dx}=\dfrac {y(1-x)}{x}$，然后分离变量得到 $\dfrac {dy}{y}=\dfrac {1-x}{x}dx$。
步骤 2：积分
对分离变量后的方程两边积分，得到 $\int \dfrac {dy}{y}=\int \dfrac {1-x}{x}dx$。左边的积分是 $\ln |y|$，右边的积分是 $\int \dfrac {1}{x}dx - \int dx = \ln |x| - x + C$，其中 $C$ 是积分常数。
步骤 3：求解通解
将积分结果合并，得到 $\ln |y| = \ln |x| - x + C$。对两边取指数，得到 $|y| = e^{\ln |x| - x + C} = e^{\ln |x|} \cdot e^{-x} \cdot e^C = |x| \cdot e^{-x} \cdot e^C$。由于 $e^C$ 是一个常数，可以记为 $C_1$，所以通解为 $y = C_1 x e^{-x}$，其中 $C_1$ 是任意常数。
将微分方程 $y'=\dfrac {y(1-x)}{x}$ 重写为 $\dfrac {dy}{dx}=\dfrac {y(1-x)}{x}$，然后分离变量得到 $\dfrac {dy}{y}=\dfrac {1-x}{x}dx$。
步骤 2：积分
对分离变量后的方程两边积分，得到 $\int \dfrac {dy}{y}=\int \dfrac {1-x}{x}dx$。左边的积分是 $\ln |y|$，右边的积分是 $\int \dfrac {1}{x}dx - \int dx = \ln |x| - x + C$，其中 $C$ 是积分常数。
步骤 3：求解通解
将积分结果合并，得到 $\ln |y| = \ln |x| - x + C$。对两边取指数，得到 $|y| = e^{\ln |x| - x + C} = e^{\ln |x|} \cdot e^{-x} \cdot e^C = |x| \cdot e^{-x} \cdot e^C$。由于 $e^C$ 是一个常数，可以记为 $C_1$，所以通解为 $y = C_1 x e^{-x}$，其中 $C_1$ 是任意常数。