(1)方程 dfrac (dy)(dx)=yln dfrac (y)(x) 的满足初始条件 y(1)=1 特解是 () .-|||-(A) =(e)^x+1 (B) =x(e)^x-1 (C) =x(e)^x+1 (D) =x(e)^-x+1

考查要点：本题主要考查齐次微分方程的解法，以及初始条件的应用。关键在于通过变量代换将方程转化为可分离变量的形式，并正确求解积分。

解题思路：

1. 识别齐次方程：观察方程形式，发现右边含$\frac{y}{x}$，提示使用代换$v = \frac{y}{x}$。
2. 变量代换：令$y = v x$，将原方程转化为关于$v$和$x$的方程。
3. 分离变量积分：分离变量后对两边积分，注意积分常数的处理。
4. 回代并应用初始条件：将$v$代回原变量，利用$y(1)=1$确定特解。

变量代换与方程转化

令$v = \frac{y}{x}$，则$y = v x$，导数为：
$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$
代入原方程：
$x \left( v + x \frac{dv}{dx} \right) = v x \ln v$
化简得：
$v + x \frac{dv}{dx} = v \ln v \quad \Rightarrow \quad x \frac{dv}{dx} = v (\ln v - 1)$

分离变量与积分

分离变量：
$\frac{dv}{v (\ln v - 1)} = \frac{dx}{x}$
令$u = \ln v - 1$，则$du = \frac{1}{v} dv$，积分得：
$\int \frac{1}{u} du = \int \frac{1}{x} dx \quad \Rightarrow \quad \ln |\ln v - 1| = \ln |x| + C$
去掉对数：
$\ln v - 1 = C x \quad \Rightarrow \quad v = e^{C x + 1}$

回代与初始条件

将$v = \frac{y}{x}$代入，得：
$\frac{y}{x} = e^{C x + 1} \quad \Rightarrow \quad y = x e^{C x + 1}$
应用初始条件$y(1) = 1$：
$1 = 1 \cdot e^{C \cdot 1 + 1} \quad \Rightarrow \quad e^{C + 1} = 1 \quad \Rightarrow \quad C = -1$
因此特解为：
$y = x e^{-x + 1}$