题目
极限的数学语言借助不等式,通过ε和N之间的关系,定量-|||-地、具体地刻划了两个"无限过程"之间的联系。在该定义-|||-中,涉及到的仅仅是`数及其大小关系`,此外只是用给定、-|||-存在、任何等词语,已经摆脱了"趋近"一词,不再求助于运-|||-动的直观。这种"静态--动态--静态"的螺旋式的上升演-|||-变,反映了数学发展的辩证规律。-|||-下列说法错误的是 () 。-|||-A. lim _(narrow infty )(x)_(n)=a →对任意正数 ε0, ∃N,使当 gt N 时,有 |(x)_(n)-a|lt varepsilon ; 而当 leqslant N 时-|||-有|(x)_(n)-a|geqslant s
题目解答
答案
本题考查极限的定义。极限的定义中，对任意正数ε，存在正整数N，当n>N时，有|xn-a|<ε。a选项，对任意正数ε><1，∃N，当n>N时，有|xn-a|<√ε，满足极限的定义，故A正确。B选项，对任意正整数k，∃N，当n>N时，有|xn-a|<1/k，满足极限的定义，故B正确。C选项，对∀ε>0，存在有限个正整数n，使|xn-a|≥ε，不满足极限的定义，故C错误。D选项，对∀ε>0，∃N，使当n>N时，有|xn-a|<ε；而当n≤n时有|xn-a|≥ε，满足极限的定义，故d正确。故本题答案选c。>
解析
步骤 1：理解极限的定义
极限的定义中，对任意正数ε，存在正整数N，当n>N时，有|xn-a|<ε。这意味着当n足够大时，数列{xn}的项与a的差的绝对值可以任意小。
步骤 2：分析选项A
对任意正数c<1，∃N，当n>N时，有|xn-a|<√c。由于c<1，√c也是正数，所以这个条件满足极限的定义，故A正确。
步骤 3：分析选项B
对任意正整数k，∃N，当n>N时，有|xn-a|<1/k。由于1/k是正数，所以这个条件也满足极限的定义，故B正确。
步骤 4：分析选项C
对∀ε>0，存在有限个正整数n，使|xn-a|≥ε。这个条件不满足极限的定义，因为极限的定义要求当n足够大时，数列{xn}的项与a的差的绝对值可以任意小，而不是存在有限个正整数n使得差的绝对值大于ε。故C错误。
步骤 5：分析选项D
对∀ε>0，∃N，使当n>N时，有|xn-a|<ε；而当n≤N时有|xn-a|≥ε。这个条件满足极限的定义，因为当n足够大时，数列{xn}的项与a的差的绝对值可以任意小，而当n≤N时，差的绝对值可以大于ε。故D正确。
极限的定义中，对任意正数ε，存在正整数N，当n>N时，有|xn-a|<ε。这意味着当n足够大时，数列{xn}的项与a的差的绝对值可以任意小。
步骤 2：分析选项A
对任意正数c<1，∃N，当n>N时，有|xn-a|<√c。由于c<1，√c也是正数，所以这个条件满足极限的定义，故A正确。
步骤 3：分析选项B
对任意正整数k，∃N，当n>N时，有|xn-a|<1/k。由于1/k是正数，所以这个条件也满足极限的定义，故B正确。
步骤 4：分析选项C
对∀ε>0，存在有限个正整数n，使|xn-a|≥ε。这个条件不满足极限的定义，因为极限的定义要求当n足够大时，数列{xn}的项与a的差的绝对值可以任意小，而不是存在有限个正整数n使得差的绝对值大于ε。故C错误。
步骤 5：分析选项D
对∀ε>0，∃N，使当n>N时，有|xn-a|<ε；而当n≤N时有|xn-a|≥ε。这个条件满足极限的定义，因为当n足够大时，数列{xn}的项与a的差的绝对值可以任意小，而当n≤N时，差的绝对值可以大于ε。故D正确。