设事件 A, B, C 两两独立，则下面选项错误的是（ ）.A. P(overline(A)C) = P(overline(A))P(C)B. P(ABC) = P(AB)P(C)C. P(overline(A)overline(B)) = P(overline(A))P(overline(B))D. P(BC) = P(B)P(C)

我们来逐项分析这道概率题。 题目给出：事件 $ A, B, C $ **两两独立**。 首先，明确“两两独立”的定义： > 事件 $ A, B, C $ 两两独立，是指： > - $ P(AB) = P(A)P(B) $ > - $ P(AC) = P(A)P(C) $ > - $ P(BC) = P(B)P(C) $ 但注意：**两两独立** **不等于** **相互独立**。相互独立还需要额外条件： > $ P(ABC) = P(A)P(B)P(C) $ 而题目只说了“两两独立”，没有说相互独立，因此不能推出 $ P(ABC) = P(A)P(B)P(C) $。 现在我们逐个分析选项，找出**错误**的选项。 --- **选项 A：** $ P(\overline{A}C) = P(\overline{A})P(C) $ 我们要判断 $ \overline{A} $ 与 $ C $ 是否独立。 已知 $ A $ 与 $ C $ 独立（因为两两独立），即 $ P(AC) = P(A)P(C) $ 我们想验证 $ \overline{A} $ 与 $ C $ 是否独立。 利用概率公式： $$ P(\overline{A}C) = P(C) - P(AC) $$ 因为 $ \overline{A}C $ 是 $ C $ 中不包含 $ A $ 的部分。 由 $ A $ 与 $ C $ 独立，有 $ P(AC) = P(A)P(C) $，代入得： $$ P(\overline{A}C) = P(C) - P(A)P(C) = P(C)(1 - P(A)) = P(\overline{A})P(C) $$ 所以，$ P(\overline{A}C) = P(\overline{A})P(C) $ 成立。 ✅ **A 正确** --- **选项 B：** $ P(ABC) = P(AB)P(C) $ 我们分析这个等式是否一定成立。 右边：$ P(AB)P(C) $ 由两两独立，$ P(AB) = P(A)P(B) $，所以右边为 $ P(A)P(B)P(C) $ 左边：$ P(ABC) $ 但注意：**两两独立不能推出 $ P(ABC) = P(A)P(B)P(C) $**，这是相互独立才有的性质。 举个反例即可说明这个等式不一定成立。 **反例构造（经典反例）：** 设样本空间有 4 个等可能结果：$ \omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega_4 $，每个概率为 $ \frac{1}{4} $ 定义事件： - $ A = \{\omega_1, \omega_2\} $，$ P(A) = \frac{1}{2} $ - $ B = \{\omega_1, \omega_3\} $，$ P(B) = \frac{1}{2} $ - $ C = \{\omega_1, \omega_4\} $，$ P(C) = \frac{1}{2} $ 计算两两交集： - $ AB = \{\omega_1\} $，$ P(AB) = \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} $，独立 - $ AC = \{\omega_1\} $，$ P(AC) = \frac{1}{4} = P(A)P(C) $，独立 - $ BC = \{\omega_1\} $，$ P(BC) = \frac{1}{4} = P(B)P(C) $，独立 所以 $ A, B, C $ 两两独立。 但 $ ABC = \{\omega_1\} $，$ P(ABC) = \frac{1}{4} $ 而 $ P(A)P(B)P(C) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \ne \frac{1}{4} $ 所以 $ P(ABC) \ne P(A)P(B)P(C) $ 再看选项 B：$ P(ABC) = P(AB)P(C) $ 计算右边：$ P(AB) = \frac{1}{4} $，$ P(C) = \frac{1}{2} $，所以 $ P(AB)P(C) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} $ 左边 $ P(ABC) = \frac{1}{4} \ne \frac{1}{8} $ 所以 **B 不成立** ❌ **B 错误** --- 我们继续验证其他选项，看是否只有一个错误选项（通常单选题）。 --- **选项 C：** $ P(\overline{A}\overline{B}) = P(\overline{A})P(\overline{B}) $ 即 $ \overline{A} $ 与 $ \overline{B} $ 是否独立。 已知 $ A $ 与 $ B $ 独立，即 $ P(AB) = P(A)P(B) $ 我们来推导 $ P(\overline{A}\overline{B}) $ $$ P(\overline{A}\overline{B}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - [P(A) + P(B) - P(AB)] $$ 由 $ A, B $ 独立，$ P(AB) = P(A)P(B) $，代入得： $$ = 1 - P(A) - P(B) + P(A)P(B) = (1 - P(A))(1 - P(B)) = P(\overline{A})P(\overline{B}) $$ 所以成立。 ✅ **C 正确** --- **选项 D：** $ P(BC) = P(B)P(C) $ 这是两两独立的直接条件之一！ 题目说 $ A, B, C $ 两两独立，所以 $ B $ 与 $ C $ 独立，即 $ P(BC) = P(B)P(C) $ ✅ **D 正确** --- 综上： - A 正确 - **B 错误** - C 正确 - D 正确 所以，**错误的选项是 B** --- **答案：** $ \boxed{B} $