二元函数(x,y)= ^2+{y)^2},(x,y)neq (0,0 0,(x,y)=(0,0) .在点(0,0)处（ ）。A. 连续，偏导数存在；B. 连续，偏导数不存在；C. 不连续，偏导数存在；D. 不连续，偏导数不存在。

步骤 1：判断函数在点(0,0)处的连续性
为了判断函数在点(0,0)处的连续性，我们需要计算函数在该点的极限值，并与函数在该点的值进行比较。函数在点(0,0)处的值为0。我们考虑函数在点(0,0)处的极限值，即：
$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{{x}^{2}+{y}^{2}}$$
为了计算这个极限，我们可以考虑沿着不同的路径趋近于(0,0)。例如，沿着直线y=kx，我们有：
$$\lim_{x\to0}\frac{kx^2}{x^2+k^2x^2}=\lim_{x\to0}\frac{k}{1+k^2}=0$$
这表明沿着任何直线路径趋近于(0,0)，函数的极限值都是0。然而，如果沿着路径y=x^2趋近于(0,0)，我们有：
$$\lim_{x\to0}\frac{x^3}{x^2+x^4}=\lim_{x\to0}\frac{x}{1+x^2}=0$$
这表明沿着路径y=x^2趋近于(0,0)，函数的极限值也是0。然而，如果沿着路径y=x趋近于(0,0)，我们有：
$$\lim_{x\to0}\frac{x^2}{x^2+x^2}=\lim_{x\to0}\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$
这表明沿着路径y=x趋近于(0,0)，函数的极限值是1/2。因此，函数在点(0,0)处的极限值不唯一，所以函数在点(0,0)处不连续。
步骤 2：判断函数在点(0,0)处的偏导数是否存在
为了判断函数在点(0,0)处的偏导数是否存在，我们需要计算函数在该点的偏导数。函数在点(0,0)处的偏导数为：
$$\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{0-0}{h}=0$$
$$\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{0-0}{h}=0$$
因此，函数在点(0,0)处的偏导数存在。