题目
已知向量组(I)α1,α2,α3;(Ⅱ)α1,a2,a3,a4;(Ⅲ)α1,α2,α3,α5,如果它们的秩分别为-|||-(I)=r(II)=3 (m)=4, 求 ((alpha )_(1),(alpha )_(2),(alpha )_(3),(a)_(4)+(a)_(5)).
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析向量组(I)的秩
向量组(I)α1,α2,α3的秩为3，说明α1,α2,α3线性无关。
步骤 2：分析向量组(Ⅱ)的秩
向量组(Ⅱ)α1,α2,α3,α4的秩也为3，说明α4可以由α1,α2,α3线性表出，即存在实数l1,l2,l3，使得α4=l1α1+l2α2+l3α3。
步骤 3：分析向量组(Ⅲ)的秩
向量组(Ⅲ)α1,α2,α3,α5的秩为4，说明α5不能由α1,α2,α3线性表出，即α1,α2,α3,α5线性无关。
步骤 4：分析向量组α1,α2,α3,α4+α5的秩
假设α4+α5可以由α1,α2,α3线性表出，即存在实数k1,k2,k3，使得α4+α5=k1α1+k2α2+k3α3。则α5=(k1-l1)α1+(k2-l2)α2+(k3-l3)α3，这与α5不能由α1,α2,α3线性表出矛盾。因此，α4+α5不能由α1,α2,α3线性表出，即α1,α2,α3,α4+α5线性无关，秩为4。
向量组(I)α1,α2,α3的秩为3，说明α1,α2,α3线性无关。
步骤 2：分析向量组(Ⅱ)的秩
向量组(Ⅱ)α1,α2,α3,α4的秩也为3，说明α4可以由α1,α2,α3线性表出，即存在实数l1,l2,l3，使得α4=l1α1+l2α2+l3α3。
步骤 3：分析向量组(Ⅲ)的秩
向量组(Ⅲ)α1,α2,α3,α5的秩为4，说明α5不能由α1,α2,α3线性表出，即α1,α2,α3,α5线性无关。
步骤 4：分析向量组α1,α2,α3,α4+α5的秩
假设α4+α5可以由α1,α2,α3线性表出，即存在实数k1,k2,k3，使得α4+α5=k1α1+k2α2+k3α3。则α5=(k1-l1)α1+(k2-l2)α2+(k3-l3)α3，这与α5不能由α1,α2,α3线性表出矛盾。因此，α4+α5不能由α1,α2,α3线性表出，即α1,α2,α3,α4+α5线性无关，秩为4。