设 f(x,y)= sin dfrac (1)({x)^2+(y)^2} , ^2+(y)^2neq 0,-|||-0, ^2+(y)^2=0,-|||-考察函数f在原点(0,0)的偏导数.

步骤 1：计算 ${f}_{x}(0,0)$
根据偏导数的定义，我们有：
${f}_{x}(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}$
由于 $f(0,0)=0$，且当 $h\neq 0$ 时，$f(h,0)=0$，因此：
${f}_{x}(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{0-0}{h}=0$
步骤 2：计算 ${f}_{y}(0,0)$
同样根据偏导数的定义，我们有：
${f}_{y}(0,0)=\lim_{k\to 0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}$
由于 $f(0,0)=0$，且当 $k\neq 0$ 时，$f(0,k)=k\sin\frac{1}{k^2}$，因此：
${f}_{y}(0,0)=\lim_{k\to 0}\frac{k\sin\frac{1}{k^2}-0}{k}=\lim_{k\to 0}\sin\frac{1}{k^2}$
由于 $\sin\frac{1}{k^2}$ 在 $k\to 0$ 时没有极限，因此 ${f}_{y}(0,0)$ 不存在。