11.求下列函数的反函数：(1)y=sqrt[3](x+1); (2)y=(1-x)/(1+x);(4)y=2sin 3x(-(pi)/(6)le xle (pi)/(6)); (5)y=1+ln(x+2);

反函数求解的核心思路是将原函数的自变量和因变量互换，再解方程得到新的表达式。解题时需注意：

1. 原函数必须存在反函数（即原函数在定义域内是一一对应的）；
2. 定义域与值域的转换：反函数的定义域是原函数的值域；
3. 特殊函数的处理：如三角函数需限制定义域保证单调性，对数函数需用指数函数反解。

(1) $y = \sqrt[3]{x+1}$

互换变量并解方程

将原式改写为 $y = (x+1)^{1/3}$，两边立方得：
$y^3 = x + 1$
解得：
$x = y^3 - 1$
因此反函数为 $f^{-1}(x) = x^3 - 1$。

(2) $y = \frac{1-x}{1+x}$

交叉相乘整理方程

交叉相乘得：
$y(1+x) = 1 - x$
展开并整理含$x$的项：
$y + yx = 1 - x \implies x(y + 1) = 1 - y$
解得：
$x = \frac{1 - y}{y + 1}$
因此反函数为 $f^{-1}(x) = \frac{1 - x}{x + 1}$。

(4) $y = 2\sin 3x \quad \left(-\frac{\pi}{6} \le x \le \frac{\pi}{6}\right)$

利用反正弦函数反解

原函数定义域保证$\sin 3x$单调递增。方程变形为：
$\sin 3x = \frac{y}{2}$
取反正弦函数：
$3x = \arcsin\left(\frac{y}{2}\right)$
解得：
$x = \frac{1}{3} \arcsin\left(\frac{y}{2}\right)$
因此反函数为 $f^{-1}(x) = \frac{1}{3} \arcsin\left(\frac{x}{2}\right)$。

(5) $y = 1 + \ln(x+2)$

用指数函数消去对数

方程变形为：
$\ln(x+2) = y - 1$
取指数函数：
$x + 2 = e^{y - 1}$
解得：
$x = e^{y - 1} - 2$
因此反函数为 $f^{-1}(x) = e^{x - 1} - 2$。