2.14 设随机变量X的概率密度函数为-|||-f(x)= {e)^dfrac (-{(ln x)^2)(2)},xgt 0 0,xgt 0 . 其中 gt 0 为常数.则-|||-(1).求常数c;-|||-(2).设 =ln x, 且Y的分布函数为G(y),求Y概率密度函数g(y);-|||-(3).求G(Y)的概率密度函数.

步骤 1：求常数c
根据概率密度函数的性质，其在定义域上的积分应等于1，即
$$\int_{0}^{\infty} f(x) dx = 1$$
代入给定的函数形式，有
$$\int_{0}^{\infty} \frac{c}{x} e^{-\frac{(\ln x)^2}{2}} dx = 1$$
令 $u = \ln x$，则 $du = \frac{1}{x} dx$，且当 $x \to 0$ 时，$u \to -\infty$；当 $x \to \infty$ 时，$u \to \infty$。因此，积分变为
$$\int_{-\infty}^{\infty} c e^{-\frac{u^2}{2}} du = 1$$
注意到 $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{u^2}{2}} du = \sqrt{2\pi}$，因此
$$c \sqrt{2\pi} = 1$$
解得
$$c = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}$$

步骤 2：求Y的概率密度函数g(y)
已知 $Y = \ln X$，则 $X = e^Y$。根据概率密度函数的变换公式，有
$$g(y) = f(e^y) \left| \frac{d(e^y)}{dy} \right|$$
代入 $f(x)$ 的表达式，得
$$g(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \frac{1}{e^y} e^{-\frac{y^2}{2}} e^y = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{y^2}{2}}$$
因此，$Y$ 的概率密度函数为
$$g(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{y^2}{2}}$$

步骤 3：求G(Y)的概率密度函数
$G(Y)$ 是 $Y$ 的分布函数，即
$$G(y) = \int_{-\infty}^{y} g(t) dt$$
由于 $g(y)$ 是标准正态分布的概率密度函数，因此 $G(y)$ 是标准正态分布的分布函数，即
$$G(y) = \frac{1}{2} \left[ 1 + \operatorname{erf} \left( \frac{y}{\sqrt{2}} \right) \right]$$
其中 $\operatorname{erf}(x)$ 是误差函数。$G(Y)$ 的概率密度函数即为 $g(y)$，即
$$g(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{y^2}{2}}$$