题目
求极限lim _(xarrow 0)dfrac ({int )_(0)^xcos (t)^2dt}(ln (1+x))
求极限
题目解答
答案
利用等价无穷小和洛必达法则直接计算即可：
解析
步骤 1：应用等价无穷小
由于当$x\rightarrow 0$时，$\ln(1+x)$与$x$是等价无穷小，即$\ln(1+x)\sim x$，因此原极限可以写为：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{\int }_{0}^{x}\cos {t}^{2}dt}{\ln (1+x)}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{\int }_{0}^{x}\cos {t}^{2}dt}{x}$$
步骤 2：应用洛必达法则
由于分子和分母在$x\rightarrow 0$时都趋于0，可以应用洛必达法则，即对分子和分母分别求导：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{\int }_{0}^{x}\cos {t}^{2}dt}{x}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\dfrac {d}{dx}{\int }_{0}^{x}\cos {t}^{2}dt}{\dfrac {d}{dx}x}$$
步骤 3：计算导数
根据微积分基本定理，分子的导数为$\cos {x}^{2}$，分母的导数为1，因此：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\cos {x}^{2}}{1}$$
步骤 4：计算极限
当$x\rightarrow 0$时，$\cos {x}^{2}\rightarrow \cos 0=1$，因此：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\cos {x}^{2}}{1}=1$$
由于当$x\rightarrow 0$时，$\ln(1+x)$与$x$是等价无穷小，即$\ln(1+x)\sim x$，因此原极限可以写为：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{\int }_{0}^{x}\cos {t}^{2}dt}{\ln (1+x)}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{\int }_{0}^{x}\cos {t}^{2}dt}{x}$$
步骤 2：应用洛必达法则
由于分子和分母在$x\rightarrow 0$时都趋于0，可以应用洛必达法则，即对分子和分母分别求导：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{\int }_{0}^{x}\cos {t}^{2}dt}{x}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\dfrac {d}{dx}{\int }_{0}^{x}\cos {t}^{2}dt}{\dfrac {d}{dx}x}$$
步骤 3：计算导数
根据微积分基本定理，分子的导数为$\cos {x}^{2}$，分母的导数为1，因此：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\cos {x}^{2}}{1}$$
步骤 4：计算极限
当$x\rightarrow 0$时，$\cos {x}^{2}\rightarrow \cos 0=1$，因此：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\cos {x}^{2}}{1}=1$$