求极限lim _(xarrow 0)dfrac ({int )_(0)^xcos (t)^2dt}(ln (1+x))

考查要点：本题主要考查等价无穷小替换和洛必达法则的应用，以及积分上限函数的求导。

解题核心思路：
当$x \to 0$时，分子$\int_{0}^{x} \cos t^2 \, dt$和分母$\ln(1+x)$均为无穷小量，属于$\frac{0}{0}$型不定式。可通过以下两种方式处理：

1. 等价无穷小替换：将分母$\ln(1+x)$替换为$x$，简化表达式后直接应用洛必达法则；
2. 直接应用洛必达法则：对原式直接求导，分子导数为$\cos x^2$，分母导数为$\frac{1}{1+x}$。

破题关键点：

• 识别无穷小类型：确认分子和分母均为无穷小量，满足洛必达法则的使用条件；
• 灵活选择简化步骤：通过等价无穷小替换或直接求导，将复杂表达式转化为简单极限。

步骤1：等价无穷小替换
当$x \to 0$时，$\ln(1+x) \sim x$，因此原式可化简为：
$\lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x} \cos t^2 \, dt}{x}$

步骤2：应用洛必达法则
分子$\int_{0}^{x} \cos t^2 \, dt$在$x \to 0$时仍为无穷小量，属于$\frac{0}{0}$型不定式。对分子和分母分别求导：

• 分子导数：$\frac{d}{dx} \int_{0}^{x} \cos t^2 \, dt = \cos x^2$；
• 分母导数：$\frac{d}{dx} x = 1$。

因此，极限变为：
$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x^2}{1} = \cos 0^2 = 1$