题目
1.应用高斯定理计算iintlimits_(S)xmathrm(d)ymathrm(d)z+ymathrm(d)zmathrm(d)x+zmathrm(d)xmathrm(d)y，其中S为立方体 0le x,y,zle a的表面。答案： 3a^3
1.应用高斯定理计算$\iint\limits_{S}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z+y\mathrm{d}z\mathrm{d}x+z\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中S为立方体$ 0\le x,y,z\le a$的表面。答案：$ 3a^{3}$
题目解答
答案
### 问题解析
题目要求使用高斯定理计算给定的曲面积分。高斯定理（也称为散度定理）将一个闭合曲面上的积分转换为该曲面所包围的体积上的积分。具体来说，高斯定理的形式为：
\[
\iint\limits_{S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint\limits_{V} \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV
\]
其中，$\mathbf{F}$ 是一个向量场，$S$ 是闭合曲面，$V$ 是曲面 $S$ 所包围的体积，$\nabla \cdot \mathbf{F}$ 是向量场 $\mathbf{F}$ 的散度。
### 问题分析
1. **向量场的定义**：
给定的积分可以写成向量场的形式：
\[
\mathbf{F} = (x, y, z)
\]
其中，$\mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}$ 可以表示为：
\[
\mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = x \, dy \, dz + y \, dz \, dx + z \, dx \, dy
\]
2. **散度的计算**：
计算向量场 $\mathbf{F}$ 的散度：
\[
\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial z} = 1 + 1 + 1 = 3
\]
3. **应用高斯定理**：
根据高斯定理，将曲面积分转换为体积积分：
\[
\iint\limits_{S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint\limits_{V} \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV
\]
代入散度的值：
\[
\iiint\limits_{V} 3 \, dV
\]
4. **计算体积积分**：
体积 $V$ 是一个边长为 $a$ 的立方体，其体积为 $a^3$。因此，体积积分可以写成：
\[
\iiint\limits_{V} 3 \, dV = 3 \iiint\limits_{V} dV = 3 \cdot a^3
\]
### 最终答案
因此，曲面积分的值为：
\[
\iint\limits_{S} x \, dy \, dz + y \, dz \, dx + z \, dx \, dy = 3a^3
\]
答案：$\boxed{3a^3}$
解析
步骤 1：定义向量场
给定的积分可以写成向量场的形式：\[ \mathbf{F} = (x, y, z) \] 其中，$\mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}$ 可以表示为：\[ \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = x \, dy \, dz + y \, dz \, dx + z \, dx \, dy \]
步骤 2：计算向量场的散度
计算向量场 $\mathbf{F}$ 的散度：\[ \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial z} = 1 + 1 + 1 = 3 \]
步骤 3：应用高斯定理
根据高斯定理，将曲面积分转换为体积积分：\[ \iint\limits_{S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint\limits_{V} \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV \] 代入散度的值：\[ \iiint\limits_{V} 3 \, dV \]
步骤 4：计算体积积分
体积 $V$ 是一个边长为 $a$ 的立方体，其体积为 $a^3$。因此，体积积分可以写成：\[ \iiint\limits_{V} 3 \, dV = 3 \iiint\limits_{V} dV = 3 \cdot a^3 \]
给定的积分可以写成向量场的形式：\[ \mathbf{F} = (x, y, z) \] 其中，$\mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}$ 可以表示为：\[ \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = x \, dy \, dz + y \, dz \, dx + z \, dx \, dy \]
步骤 2：计算向量场的散度
计算向量场 $\mathbf{F}$ 的散度：\[ \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial z} = 1 + 1 + 1 = 3 \]
步骤 3：应用高斯定理
根据高斯定理，将曲面积分转换为体积积分：\[ \iint\limits_{S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint\limits_{V} \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV \] 代入散度的值：\[ \iiint\limits_{V} 3 \, dV \]
步骤 4：计算体积积分
体积 $V$ 是一个边长为 $a$ 的立方体，其体积为 $a^3$。因此，体积积分可以写成：\[ \iiint\limits_{V} 3 \, dV = 3 \iiint\limits_{V} dV = 3 \cdot a^3 \]