题目

事件A,B,C以下命题-|||-(1)A与B有可能既独立又互斥-|||-(2)若 (A|B)=P(A|overline (B)), 则A与B独立-|||-(3)若A与C独立,且B与C独立,则A∪B与C独立-|||-(4)若A与C独立,且B与C独立,则AB与C独立-|||-正确的个数有-|||-么 1-|||-B 2

题目解答

答案

解析

本题考查事件独立性与互斥性的判断，需结合定义及性质逐一分析命题的正确性。关键点在于：

  1. 独立事件满足$P(AB)=P(A)P(B)$；
  2. 互斥事件满足$P(AB)=0$；
  3. 条件概率与独立性的关系；
  4. 事件运算的独立性传递性。

命题（1）：A与B有可能既独立又互斥

  • 互斥要求$P(AB)=0$，独立要求$P(AB)=P(A)P(B)$。
  • 若$P(A)P(B)=0$，则存在至少一个事件概率为0（如$P(B)=0$），此时$A$与$B$互斥且独立。
    结论：正确

命题（2）：若$P(A|B)=P(A|\overline{B})$，则A与B独立

  • 由条件概率公式得：
    $P(AB)=P(A|B)P(B)=P(A|\overline{B})P(B)$
    $P(A\overline{B})=P(A|\overline{B})P(\overline{B})=P(A|B)P(\overline{B})$
  • 相加得：
    $P(AB)+P(A\overline{B})=P(A|B)[P(B)+P(\overline{B})]=P(A|B)$
    即$P(A)=P(A|B)$，故$P(AB)=P(A)P(B)$，满足独立性。
    结论：正确

命题（3）：若A与C独立，B与C独立，则$A∪B$与C独立

  • 需验证$P((A∪B)C)=P(A∪B)P(C)$。
  • 展开得：
    $P(AC∪BC)=P(AC)+P(BC)-P(ABC)$
    若$A$与$B$不独立，$P(ABC)≠P(A)P(B)P(C)$，等式不成立。
    结论：错误

命题（4）：若A与C独立，B与C独立，则$AB$与C独立

  • 需验证$P(ABC)=P(AB)P(C)$。
  • 若$A$与$B$不独立，$P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C)≠P(AB)P(C)$，等式不成立。
    结论：错误