题目
3.要使函数φ(x )= ,dfrac {pi )(2)] (B)[π,2π] (C) [ 0,dfrac (pi )(2)] (D) [ dfrac (pi )(2),pi ]
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定概率密度函数的性质
概率密度函数φ(x)需要满足两个条件：1) φ(x) ≥ 0 对于所有的x；2) ∫φ(x)dx = 1，其中积分是在整个实数域上进行的。对于给定的函数φ(x)，它在区间G内为0.5cos(x)，在区间G外为0。因此，我们需要找到一个区间G，使得0.5cos(x) ≥ 0，并且在G上的积分等于1。
步骤 2：确定cos(x)的正区间
cos(x)在$[ -\dfrac {\pi }{2},\dfrac {\pi }{2}]$区间内是非负的，因此0.5cos(x)在这个区间内也是非负的。这意味着G必须是$[ -\dfrac {\pi }{2},\dfrac {\pi }{2}]$的子集。
步骤 3：计算积分
为了使φ(x)成为概率密度函数，我们需要计算在G上的积分，并确保它等于1。对于G = $[ -\dfrac {\pi }{2},\dfrac {\pi }{2}]$，我们有：
∫_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 0.5\cos(x) dx = 0.5\sin(x) |_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = 0.5(\sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(-\frac{\pi}{2})) = 0.5(1 - (-1)) = 1
因此，G = $[ -\dfrac {\pi }{2},\dfrac {\pi }{2}]$满足条件。
概率密度函数φ(x)需要满足两个条件：1) φ(x) ≥ 0 对于所有的x；2) ∫φ(x)dx = 1，其中积分是在整个实数域上进行的。对于给定的函数φ(x)，它在区间G内为0.5cos(x)，在区间G外为0。因此，我们需要找到一个区间G，使得0.5cos(x) ≥ 0，并且在G上的积分等于1。
步骤 2：确定cos(x)的正区间
cos(x)在$[ -\dfrac {\pi }{2},\dfrac {\pi }{2}]$区间内是非负的，因此0.5cos(x)在这个区间内也是非负的。这意味着G必须是$[ -\dfrac {\pi }{2},\dfrac {\pi }{2}]$的子集。
步骤 3：计算积分
为了使φ(x)成为概率密度函数，我们需要计算在G上的积分，并确保它等于1。对于G = $[ -\dfrac {\pi }{2},\dfrac {\pi }{2}]$，我们有：
∫_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 0.5\cos(x) dx = 0.5\sin(x) |_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = 0.5(\sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(-\frac{\pi}{2})) = 0.5(1 - (-1)) = 1
因此，G = $[ -\dfrac {\pi }{2},\dfrac {\pi }{2}]$满足条件。