[题目]设 (x)=sqrt (1+{ln )^2x} 则 (e)=()-|||-A、 dfrac (sqrt {2)}(4)-|||-B、 dfrac (sqrt {2)}(2e)-|||-C、 dfrac (sqrt {2)}(2)e-|||-D、 sqrt (2)e

考查要点：本题主要考查复合函数的导数计算，涉及链式法则的应用，以及对自然对数函数导数的掌握。

解题核心思路：

1. 识别复合结构：函数$f(x)=\sqrt{1+(\ln x)^2}$由外层平方根函数和内层函数$1+(\ln x)^2$组成。
2. 分步求导：先对外层平方根函数求导，再对内层函数$1+(\ln x)^2$求导，最后结合链式法则相乘。
3. 代入计算：将$x=e$代入导数表达式，注意$\ln e=1$的简化。

破题关键点：

• 链式法则的正确应用，确保每一步导数的乘积关系正确。
• 代数化简，将结果转化为选项中的标准形式。

步骤1：求外层函数导数
设外层函数为$u = \sqrt{v}$，其中$v = 1 + (\ln x)^2$，则外层导数为：
$\frac{du}{dv} = \frac{1}{2\sqrt{v}}.$

步骤2：求内层函数导数
内层函数$v = 1 + (\ln x)^2$的导数为：
$\frac{dv}{dx} = 2\ln x \cdot \frac{1}{x}.$

步骤3：结合链式法则
根据链式法则，$f'(x) = \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}$，即：
$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{1+(\ln x)^2}} \cdot 2\ln x \cdot \frac{1}{x}.$

步骤4：代入$x=e$
当$x=e$时，$\ln e = 1$，代入得：
$f'(e) = \frac{1}{2\sqrt{1+1^2}} \cdot 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{e} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{e} = \frac{1}{\sqrt{2}e} = \frac{\sqrt{2}}{2e}.$