题目
【题目】指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解:1） xy'=2y ,y=5x2;(2) y''+y=0 , y=3sinx-4cosx ;(3） y''-2y'+y=0 , y=x^2e^x ;(4） y''-(λ_1+λ_2)y'+λ_1λ_2y=0 y=C_1e^(λ_1x)+C_2e^(λ_2x)
【题目】指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解:1） xy'=2y ,y=5x2;(2) y''+y=0 , y=3sinx-4cosx ;(3） y''-2y'+y=0 , y=x^2e^x ;(4） y''-(λ_1+λ_2)y'+λ_1λ_2y=0 y=C_1e^(λ_1x)+C_2e^(λ_2x)
题目解答
答案
【解析】解（1)由 y=5x^2 ,得 y'=10x , xy'=10x^2=2y ,故 y=5x^2 是所给微分方程的解(2)由y=3sin x-4cosx,得 y'=3cosx+4sinx ,进而得y''=-3sinx+4cosx ,于是y''+y=(-3sinx+4cosx)+(3sinx-4cosx)=0 ,故y=3sinx-4cosx是所给微分方程的解(3)由 y=x^2e^x ,得 y'=2xe^x+x^2e^x=(2x+x^2)e^x 进而得y''=(2+2x)e^x+(2x+x^2)e^x=(2+4x+x^2)e^x 于是y''-2y'+y=[(2+4x+x^2)-2(2x+x^2)+x^2]e^x=2e^x≠q0 故 y=x^2e^x 不是所给微分方程的解4）由 y=C_1e^(λ_1x)+C_2e^(λ_22) ,得 y'=λ_1C_1e^(λ_1x)+λ_2C_2e^(λ_2x) 进而得y''=λ_1^2C_1e^(λ_1x)+λ_2^2C_2e^(λ_2x) 于是y^n-(λ_1+λ_2)y'+λ_1λ_2y =λ_1^2C_1e^(λ_1x)+λ_2^2C_2e^(λ_2x)-λ_1(λ_1+λ_2)C_1e^(λ_( λ_1λ_2C_1e^(λ_1x)+λ_1λ_2C_2e^(λ_2x)=0故 y=C_1e^(λ_1x)+C_2e^(λ_2x) 是所给微分方程的解
解析
步骤 1：验证 y=5x^2 是否为 xy'=2y 的解
由 y=5x^2 ,得 y'=10x , xy'=10x^2=2y ,故 y=5x^2 是所给微分方程的解。
步骤 2：验证 y=3sinx-4cosx 是否为 y''+y=0 的解
由y=3sin x-4cosx,得 y'=3cosx+4sinx ,进而得y''=-3sinx+4cosx ,于是y''+y=(-3sinx+4cosx)+(3sinx-4cosx)=0 ,故y=3sinx-4cosx是所给微分方程的解。
步骤 3：验证 y=x^2e^x 是否为 y''-2y'+y=0 的解
由 y=x^2e^x ,得 y'=2xe^x+x^2e^x=(2x+x^2)e^x 进而得y''=(2+2x)e^x+(2x+x^2)e^x=(2+4x+x^2)e^x 于是y''-2y'+y=[(2+4x+x^2)-2(2x+x^2)+x^2]e^x=2e^x≠q0 故 y=x^2e^x 不是所给微分方程的解。
步骤 4：验证 y=C_1e^(λ_1x)+C_2e^(λ_2x) 是否为 y''-(λ_1+λ_2)y'+λ_1λ_2y=0 的解
由 y=C_1e^(λ_1x)+C_2e^(λ_2x) ,得 y'=λ_1C_1e^(λ_1x)+λ_2C_2e^(λ_2x) 进而得y''=λ_1^2C_1e^(λ_1x)+λ_2^2C_2e^(λ_2x) 于是y^n-(λ_1+λ_2)y'+λ_1λ_2y =λ_1^2C_1e^(λ_1x)+λ_2^2C_2e^(λ_2x)-λ_1(λ_1+λ_2)C_1e^(λ_1x)-λ_2(λ_1+λ_2)C_2e^(λ_2x)+λ_1λ_2C_1e^(λ_1x)+λ_1λ_2C_2e^(λ_2x)=0 故 y=C_1e^(λ_1x)+C_2e^(λ_2x) 是所给微分方程的解。
由 y=5x^2 ,得 y'=10x , xy'=10x^2=2y ,故 y=5x^2 是所给微分方程的解。
步骤 2：验证 y=3sinx-4cosx 是否为 y''+y=0 的解
由y=3sin x-4cosx,得 y'=3cosx+4sinx ,进而得y''=-3sinx+4cosx ,于是y''+y=(-3sinx+4cosx)+(3sinx-4cosx)=0 ,故y=3sinx-4cosx是所给微分方程的解。
步骤 3：验证 y=x^2e^x 是否为 y''-2y'+y=0 的解
由 y=x^2e^x ,得 y'=2xe^x+x^2e^x=(2x+x^2)e^x 进而得y''=(2+2x)e^x+(2x+x^2)e^x=(2+4x+x^2)e^x 于是y''-2y'+y=[(2+4x+x^2)-2(2x+x^2)+x^2]e^x=2e^x≠q0 故 y=x^2e^x 不是所给微分方程的解。
步骤 4：验证 y=C_1e^(λ_1x)+C_2e^(λ_2x) 是否为 y''-(λ_1+λ_2)y'+λ_1λ_2y=0 的解
由 y=C_1e^(λ_1x)+C_2e^(λ_2x) ,得 y'=λ_1C_1e^(λ_1x)+λ_2C_2e^(λ_2x) 进而得y''=λ_1^2C_1e^(λ_1x)+λ_2^2C_2e^(λ_2x) 于是y^n-(λ_1+λ_2)y'+λ_1λ_2y =λ_1^2C_1e^(λ_1x)+λ_2^2C_2e^(λ_2x)-λ_1(λ_1+λ_2)C_1e^(λ_1x)-λ_2(λ_1+λ_2)C_2e^(λ_2x)+λ_1λ_2C_1e^(λ_1x)+λ_1λ_2C_2e^(λ_2x)=0 故 y=C_1e^(λ_1x)+C_2e^(λ_2x) 是所给微分方程的解。