【题目】指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解:1） xy'=2y ,y=5x2;(2) y''+y=0 , y=3sinx-4cosx ;(3） y''-2y'+y=0 , y=x^2e^x ;(4） y''-(λ_1+λ_2)y'+λ_1λ_2y=0 y=C_1e^(λ_1x)+C_2e^(λ_2x)

考查要点：本题主要考查微分方程解的验证方法，即通过计算函数及其导数，代入微分方程验证等式是否成立。

解题核心思路：

1. 计算函数的各阶导数；
2. 将函数和导数代入微分方程；
3. 化简方程左右两边，判断是否相等；
4. 若相等，则函数是解；否则不是。

破题关键点：

• 正确求导：注意乘积法则、链式法则等；
• 代数化简：合并同类项，观察是否抵消为0；
• 特殊形式处理：如指数函数、三角函数的导数特性。

（1）$xy' = 2y$，$y = 5x^2$

1. 求导：$y = 5x^2 \Rightarrow y' = 10x$；
2. 代入方程：左边$xy' = x \cdot 10x = 10x^2$，右边$2y = 2 \cdot 5x^2 = 10x^2$；
3. 结论：两边相等，故$y = 5x^2$是解。

（2）$y'' + y = 0$，$y = 3\sin x - 4\cos x$

1. 求导：
   • $y' = 3\cos x + 4\sin x$；
   • $y'' = -3\sin x + 4\cos x$；
2. 代入方程：左边$y'' + y = (-3\sin x + 4\cos x) + (3\sin x - 4\cos x) = 0$；
3. 结论：等式成立，故$y = 3\sin x - 4\cos x$是解。

（3）$y'' - 2y' + y = 0$，$y = x^2 e^x$

1. 求导：
   • $y' = (2x + x^2)e^x$；
   • $y'' = (2 + 4x + x^2)e^x$；
2. 代入方程：
   $y'' - 2y' + y = (2 + 4x + x^2)e^x - 2(2x + x^2)e^x + x^2 e^x = 2e^x \neq 0$
3. 结论：等式不成立，故$y = x^2 e^x$不是解。

（4）$y'' - (\lambda_1 + \lambda_2)y' + \lambda_1 \lambda_2 y = 0$，$y = C_1 e^{\lambda_1 x} + C_2 e^{\lambda_2 x}$

1. 求导：
   • $y' = \lambda_1 C_1 e^{\lambda_1 x} + \lambda_2 C_2 e^{\lambda_2 x}$；
   • $y'' = \lambda_1^2 C_1 e^{\lambda_1 x} + \lambda_2^2 C_2 e^{\lambda_2 x}$；
2. 代入方程：
   $\begin{aligned} y'' - (\lambda_1 + \lambda_2)y' + \lambda_1 \lambda_2 y &= \lambda_1^2 C_1 e^{\lambda_1 x} + \lambda_2^2 C_2 e^{\lambda_2 x} \\ &\quad - (\lambda_1 + \lambda_2)(\lambda_1 C_1 e^{\lambda_1 x} + \lambda_2 C_2 e^{\lambda_2 x}) \\ &\quad + \lambda_1 \lambda_2 (C_1 e^{\lambda_1 x} + C_2 e^{\lambda_2 x}) \\ &= 0 \end{aligned}$
3. 结论：等式成立，故$y = C_1 e^{\lambda_1 x} + C_2 e^{\lambda_2 x}$是解。