题目
设 函数 f ( x ) 在 x = 1 处可导且lim _(xarrow 0)dfrac (f(1)-f(1-x))(2x)=1则 lim _(xarrow 0)dfrac (f(1)-f(1-x))(2x)=1
设 函数 f ( x ) 在 x = 1 处可导且
则 
题目解答
答案
由
得
解析
步骤 1：利用导数定义
根据导数的定义，$f'(1)$ 可以表示为 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(1)-f(1-x)}{x}$。题目中给出的极限形式与导数定义形式相似，但分母为 $2x$ 而不是 $x$。
步骤 2：调整极限形式
将题目中给出的极限形式调整为与导数定义形式一致的形式。即 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(1)-f(1-x)}{2x}=\dfrac {1}{2}\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(1)-f(1-x)}{x}$。
步骤 3：计算导数值
根据题目条件，$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(1)-f(1-x)}{2x}=1$，代入步骤 2 中的调整形式，得到 $\dfrac {1}{2}\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(1)-f(1-x)}{x}=1$。因此，$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(1)-f(1-x)}{x}=2$，即 $f'(1)=2$。
根据导数的定义，$f'(1)$ 可以表示为 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(1)-f(1-x)}{x}$。题目中给出的极限形式与导数定义形式相似，但分母为 $2x$ 而不是 $x$。
步骤 2：调整极限形式
将题目中给出的极限形式调整为与导数定义形式一致的形式。即 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(1)-f(1-x)}{2x}=\dfrac {1}{2}\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(1)-f(1-x)}{x}$。
步骤 3：计算导数值
根据题目条件，$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(1)-f(1-x)}{2x}=1$，代入步骤 2 中的调整形式，得到 $\dfrac {1}{2}\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(1)-f(1-x)}{x}=1$。因此，$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(1)-f(1-x)}{x}=2$，即 $f'(1)=2$。