40. (2.0分) 若F(x,y)在点(x0,y0)处满足F(x0,y0)=0且partial F/partial yneq0，则存在唯一可微函数y=f(x)在x0附近满足F(x,y)=0。A. 对B. 错

隐函数定理的应用需要满足三个核心条件：

1. 函数值条件：$F(x_0, y_0) = 0$；
2. 可微性条件：$F(x, y)$在点$(x_0, y_0)$附近连续可微；
3. 偏导数条件：$\frac{\partial F}{\partial y}(x_0, y_0) \neq 0$。

题目中仅验证了前两个条件，忽略了“连续可微”的关键要求，因此结论不成立。

隐函数定理的完整条件

隐函数定理成立的必要条件包括：

1. $F(x_0, y_0) = 0$；
2. $F(x, y)$在$(x_0, y_0)$的邻域内连续可微（即$F$及其一阶偏导数连续）；
3. $\frac{\partial F}{\partial y}(x_0, y_0) \neq 0$。

题目条件的缺失

题目中仅给出：

• $F(x_0, y_0) = 0$；
• $\frac{\partial F}{\partial y}(x_0, y_0) \neq 0$。

未明确$F(x, y)$的连续可微性，因此无法直接应用隐函数定理。

反例验证

构造函数$F(x, y) = x - y^3 + y + |x|$：

1. 在点$(0, 0)$处，$F(0, 0) = 0$；
2. $\frac{\partial F}{\partial y} = -3y^2 + 1$，在$(0, 0)$处值为$1 \neq 0$；
3. 但$\frac{\partial F}{\partial x} = 1 + \text{sgn}(x)$在$x = 0$处不连续，导致$F(x, y)$不可微。

结论：即使满足前两个条件，若$F$不可微，则无法保证存在可微函数$y = f(x)$。