题目
A12.1.4 下列级数中,收敛的级数是 __-|||-(A) sum _(n=1)^infty =dfrac (-2)(n) (B) sum _(n=1)^infty dfrac (1)(n+100); (C) sum _(n=1)^infty ((-1))^n+1(dfrac (1)(n)+dfrac (1)(n+1)); (D) sum _(n=1)^infty (dfrac (1)({n)^2}+dfrac (1)(n)).
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析选项 (A)
级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {-2}{n}$ 是一个调和级数的常数倍，调和级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{n}$ 是发散的，因此该级数也是发散的。
步骤 2：分析选项 (B)
级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{n+100}$ 与调和级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{n}$ 的收敛性相同，因为它们的通项在 $n$ 趋于无穷大时趋于零的速度相同，因此该级数也是发散的。
步骤 3：分析选项 (C)
级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n+1}(\dfrac {1}{n}+\dfrac {1}{n+1})$ 是一个交错级数，其通项 $\dfrac {1}{n}+\dfrac {1}{n+1}$ 随着 $n$ 的增加而单调递减，并且趋于零，因此根据交错级数的收敛性判别法，该级数是收敛的。
步骤 4：分析选项 (D)
级数 $\sum _{n=1}^{\infty }(\dfrac {1}{{n}^{2}}+\dfrac {1}{n})$ 可以拆分为两个级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{{n}^{2}}$ 和 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{n}$，其中 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{{n}^{2}}$ 是收敛的，而 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{n}$ 是发散的，因此该级数是发散的。
级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {-2}{n}$ 是一个调和级数的常数倍，调和级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{n}$ 是发散的，因此该级数也是发散的。
步骤 2：分析选项 (B)
级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{n+100}$ 与调和级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{n}$ 的收敛性相同，因为它们的通项在 $n$ 趋于无穷大时趋于零的速度相同，因此该级数也是发散的。
步骤 3：分析选项 (C)
级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n+1}(\dfrac {1}{n}+\dfrac {1}{n+1})$ 是一个交错级数，其通项 $\dfrac {1}{n}+\dfrac {1}{n+1}$ 随着 $n$ 的增加而单调递减，并且趋于零，因此根据交错级数的收敛性判别法，该级数是收敛的。
步骤 4：分析选项 (D)
级数 $\sum _{n=1}^{\infty }(\dfrac {1}{{n}^{2}}+\dfrac {1}{n})$ 可以拆分为两个级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{{n}^{2}}$ 和 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{n}$，其中 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{{n}^{2}}$ 是收敛的，而 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{n}$ 是发散的，因此该级数是发散的。