题目
【题目】设 my^3+nx^2y+i(x^3+lxy^2) 为解析函数,试确定l,m,n的值.
【题目】设 my^3+nx^2y+i(x^3+lxy^2) 为解析函数,试确定l,m,n的值.
题目解答
答案
【解析】解设 u=my^3+nx^2y,v=x^3+ln y2,则(∂u)/(∂x)=2nyx,(∂u)/(∂y)=3my^2+nx^2 (∂v)/(∂x)=3x^2+ly^2,(∂v)/(∂y)=2lxy 由C-R方程2nyx=2lxy;3x^2+ly^2=-(3my^2+nx^2).所以n=l=-3,m=1.
解析
步骤 1：定义解析函数的实部和虚部
设 u=my^3+nx^2y,v=x^3+ly^2,则解析函数可以表示为 f(z) = u(x,y) + iv(x,y)。
步骤 2：计算偏导数
根据解析函数的定义，我们需要计算实部和虚部的偏导数。
∂u/∂x = 2nxy, ∂u/∂y = 3my^2 + nx^2
∂v/∂x = 3x^2 + ly^2, ∂v/∂y = 2lyx
步骤 3：应用Cauchy-Riemann方程
解析函数需要满足Cauchy-Riemann方程，即 ∂u/∂x = ∂v/∂y 和 ∂u/∂y = -∂v/∂x。
将偏导数代入Cauchy-Riemann方程，得到：
2nxy = 2lyx
3my^2 + nx^2 = -(3x^2 + ly^2)
步骤 4：求解方程组
从第一个方程得到 n = l，从第二个方程得到 3my^2 + nx^2 = -3x^2 - ly^2，即 3my^2 + nx^2 + 3x^2 + ly^2 = 0。
将 n = l 代入，得到 3my^2 + ly^2 + 3x^2 + lx^2 = 0，即 (3m + l)y^2 + (3 + l)x^2 = 0。
由于该方程对所有 x 和 y 都成立，因此系数必须为零，即 3m + l = 0 和 3 + l = 0。
解得 l = -3，m = 1。
设 u=my^3+nx^2y,v=x^3+ly^2,则解析函数可以表示为 f(z) = u(x,y) + iv(x,y)。
步骤 2：计算偏导数
根据解析函数的定义，我们需要计算实部和虚部的偏导数。
∂u/∂x = 2nxy, ∂u/∂y = 3my^2 + nx^2
∂v/∂x = 3x^2 + ly^2, ∂v/∂y = 2lyx
步骤 3：应用Cauchy-Riemann方程
解析函数需要满足Cauchy-Riemann方程，即 ∂u/∂x = ∂v/∂y 和 ∂u/∂y = -∂v/∂x。
将偏导数代入Cauchy-Riemann方程，得到：
2nxy = 2lyx
3my^2 + nx^2 = -(3x^2 + ly^2)
步骤 4：求解方程组
从第一个方程得到 n = l，从第二个方程得到 3my^2 + nx^2 = -3x^2 - ly^2，即 3my^2 + nx^2 + 3x^2 + ly^2 = 0。
将 n = l 代入，得到 3my^2 + ly^2 + 3x^2 + lx^2 = 0，即 (3m + l)y^2 + (3 + l)x^2 = 0。
由于该方程对所有 x 和 y 都成立，因此系数必须为零，即 3m + l = 0 和 3 + l = 0。
解得 l = -3，m = 1。